Ungleichung mit Betrag

13.07.2011, 22:32

rundum123

Ungleichung mit Betrag

Meine Frage:
Hallo Freunde der Mathematik,

ich muss folgende Ungleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x}\leq 1-\frac{|x|}{2} \end{eqnarray*}$

Leider habe ich mit den Betrag ein wenig Schwierigkeiten.

Meine Ideen:
Ich habe folgende Fälle untersucht:

x < 1 und x > 1

Für x > 1 bekomme ich die quadratische Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 0\leq x^{2}-3x \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge ist:

x < 3

Für x < 1 bekomme ich die quadratische Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 0\geq x^{2}-x \end{eqnarray*}$

Hier bekomme ich die Werte: X=-1 X=0

Leider habe ich Probleme die Lösungsmenge zu bestimmen.

Ich dachte erst, dass es das Intervall (-1,3) ist mit x ungleich 1. Allerdings scheint dies nicht zu stimmen.

Habt ihr ein Idee?

13.07.2011, 22:58

René Gruber

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Zitat:

Original von rundum123
Für x > 1 bekomme ich die quadratische Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 0\leq x^{2}-3x \end{eqnarray*}$

Da hast du dich wohl beim Relationszeichen verschrieben: Hier im Fall $\begin{eqnarray*} x>1 \end{eqnarray*}$ kommt man auf die gegensätzliche Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 0\geq x^{2}-3x \end{eqnarray*}$ .

Das Ergebnis $\begin{eqnarray*} x<3 \end{eqnarray*}$ stimmt dann auch fast, richtig ist $\begin{eqnarray*} x\leq 3 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von rundum123
Für x < 1 bekomme ich die quadratische Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 0\geq x^{2}-x \end{eqnarray*}$

Da hast du dich verrechnet - sicher irgendwo ein Vorzeichenfehler (wie meistens in solchen Fällen).

13.07.2011, 23:23

mYthos

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Zu Fall 1:

Die durch die quadratische Gleichung ermittelte Lösungsmenge muss noch entsprechend der Voraussetzung in der Fallunterscheidung eingeschränkt werden.
Daher stimmt

$\begin{eqnarray*} x \leq 3 \end{eqnarray*}$

so nicht, vielmehr ist die Lösungsmenge L1

$\begin{eqnarray*} L_1 = \{ x \ | \ 1 < x \leq 3 \}_{\mathbb R} \end{eqnarray*}$

Analog ist in dem anderen Fall zu verfahren, wobei noch hinsichtlich x = 0 eine (weitere) Fallunterscheidung durchzuführen ist.

mY+

14.07.2011, 12:18

rundum123

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Vielen Dank für euren hilfreichen Beitrag.

Im Fall x>1 bin ich nun auch auf die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 0\geq x^{2} - 3x \end{eqnarray*}$

Die Lösungsmenge ist: $\begin{eqnarray*} L_{1}= \left\{x|1<x\leq 3\right\} \end{eqnarray*}$

Im Fall x<1 bin ich auf folgende Ungleichung gekommen.

$\begin{eqnarray*} 0\geq x^{2} + x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_{1}= \left\{x|-1\leq x\leq 0\right\} \end{eqnarray*}$

Da man den Fall x=0 mit durchführen muss, komme ich auf 1=1. Damit gehört die 0 mit zur Lösungsmenge.

Die Gesamtlösungmenge lautet:

$\begin{eqnarray*} L_{Ges}= \left\{ x| -1\leq x\leq 0\wedge 1<x\leq 3\right\} \end{eqnarray*}$

14.07.2011, 14:06

René Gruber

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Das Ergebnis ist richtig, allerding ist die Begründung für den Fall $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ ziemlich unsauber (mYthos hat auch drauf hingewiesen). So wie es aussieht, hast du da einfach nur Glück gehabt mit deiner nachlässigen Betragsauflösung, denn dort lautet nach Einsetzung der Fallbedingung und Auflösung des Betrags (welche anders lautet als im Fall x<0) die zu lösende Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 0\leq x^{2}-3x \end{eqnarray*}$

welche allerdings durch überhaupt kein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus dem Bereich $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

14.07.2011, 15:48

rundum123

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Stimmt, das ist etwas unsauber.

Ich habe da noch eine Ungleichung und wollte schauen, ob ich es langsam verstehen.

Die Ungleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} | 1+x | \leq \frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$

Da bin ich auf folgende Lösungsmenge gekommen:

$\begin{eqnarray*} L_{Ges}=\left\{x| -\sqrt{2}\leq x<1 \right\} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

14.07.2011, 15:59

René Gruber

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Sieht gut aus. Freude

14.07.2011, 16:08

mYthos

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Yep!

mY+

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