Untermannigfaltigkeit

14.07.2011, 06:35

Gast11022013

Untermannigfaltigkeit

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe mal eine kleine Frage.

Eine Menge $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist ja eine Untermannigfaltigkeit, wenn es zu jedem Punkt $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ und n-k stetig differentierbare Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1,f_2,\hdots , f_{n-k}:U\to \mathbb R^{n-k} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass

1.) $\begin{eqnarray*} M\cap U=\left\{x\in U:f_1(x)=\hdots =f_{n-k}(x)=0\right\} \end{eqnarray*}$

2.) Für jedes $\begin{eqnarray*} x\in U \end{eqnarray*}$ hat die Ableitung Rang n-k

Nun hatte ich schon mehrmals das Problem, dass ich eine bestimmte Menge gegeben habe und zeigen soll, dass es sich bei dieser Menge um eine Untermannigfaltigkeit handelt.

Und ich finde es immer schwer, das U ausfindig zu machen.
Wie findet man jeweils ein U?

Meine Ideen:
Muss leider ein bisschen ausholen:

Ich gehe immer so vor, dass ich mir die zu untersuchende Menge ansehe und überlege, wie man für möglichst viele Punkte eine gemeinsame Umgebung U finden kann, sodass auf diesem Gebiet die Funktionen (die meist bei solchen Aufgaben gegen sind) (stetig) differenzierbar sind.

Beispiel:

Die Funktionen $\begin{eqnarray*} f_i:\mathbb R^4\to \mathbb R, i=1,2,3 \end{eqnarray*}$ seien definiert durch

$\begin{eqnarray*} f_1(x_1,\hdots ,x_4)=x_1x_3-x_2^2 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} f_2(x_1,\hdots ,x_4)=x_2x_4-x_3^2 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} f_3(x_1,\hdots ,x_4)=x_1x_4-x_2x_3 \end{eqnarray*}$ .

Man zeige, daß $\begin{eqnarray*} M:=\left\{x\in \mathbb R^4\backslash \left\{0\right\}:f_1(x)=f_2(x)=f_3(x)=0\right\} \end{eqnarray*}$

eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ ist.

Man braucht ja nun (n-k=4-2=2) 2 Funktionen, für die x Nullstelle ist. Und das Problem ist, ein passendes U zu finden.

Ich habe mir nun gedacht: Wie kann man für möglichst viele Punkte in M eine solche Umgebung finden und bin auf die Idee gekommen M sozusagen aufzuteilen, also sozusagen um den Nullpunkt "herumzubauen":

Eine Umgebung ist dann zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} U=\left\{x\in \mathbb R^4:x_1\neq 0\right\} \end{eqnarray*}$

Wenn man dann $\begin{eqnarray*} M\cap U \end{eqnarray*}$ betrachtet, hat man für ziemlich viele Punkte schon eine solche Umgebung gefunden, auf der die Funktionen alle (stetig) differenzierbar sind (man kann an allen Koordianten "wackeln") und durch Umformungen, die ich hier weglasse, bekommt man 2 Funktionen.

Nun kann man analog für die anderen Punkte in M solche Umgebungen finden.

Ist das allgemein die richtige Vorgehensweise?
Man schaut, dass man für alle Punkte solche Umgebungen findet und schaut dabei, dass man die vermeintliche Untermannigfaltigkeit sozusagen "aufteilt" um gleichzeitig für möglichst viele Punkte Umgebungen zu finden, wo die Funktionen (stetig) differenzierbar sind?

Danke fürs Durchlesen!

14.07.2011, 16:11

ChristianII

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Hallo,

ein Versuch, ob ich was Konstuktives beitragen kann... so richtig ist mir nicht klar, was Du Dir erhoffst. Um einen "Zugang" zu bekommen, hoffe ich, es nervt nicht, wenn ich etwas rumschwafle... .

Die Behauptung ist ja, - etwas stümperhaft formuliert -, dass es zu jedem Punkt y, in dem f(y) = 0 gilt, wobei y nicht der Nullpunkt ist (und hier die Funktionen f(i) als eine Funktion f aufgefasst seien), eine offene Umgebung U um y gibt, in der die Lösungsmenge der Bedingung f(x) = 0 genau der Lösungsmenge einer Funktion g(x) = 0 entspricht, so dass g die Kriterien erfüllt, die für eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit gelten.

Durch die Bedingungen für f kann ich nun versuchen, die Funktion g direkt zu bestimmen und für g die Eigenschaften, die für die gesuchte Untermannigfaltigkeit sprechen, nachzuweisen.
Das Problem wird sein, ob eine Funktion g so direkt angegeben werden kannn. Die Funktion g könnte vom jeweiligen Punkt y mit f(y) = 0 abhängen; wenn es mir aber wirklich gelingt, eine Funktion g zu einer Umgebung U um einen gegeben Punkt y (f(y) = 0) anzugeben, ist der Nachweis erbracht.

In diesem Fall ist es, wenn ich mich nicht verrechnet habe, nicht so schwierig (wobei nicht so schwierig nur gilt, wenn man sich nicht so wie ich zuerst ziemlich verrechnet), denn wir können zunächst davon ausgehen, dass y2 und y3 nicht "0" sind (sonst wären auch y1 und y4 =0).
Beim Versuch, g zu bestimmen, erkennen wir, dass man f3 nicht "braucht", da die Bedingung von f3 bereits aus denen von f1 und f2 folgt. Wir können f1 und f2 zur Funktion g zusammenfassen, da wir für g dann nachweisen können, dass g die gewünschten Eigenschaften einer 2 dimensionalen Untermannigfaltigkeit erfüllt. Dieses g gilt also sogar für die gesamte Lösungsmenge f(x) = 0 abgesehen vom Nullpunkt, also auch in einer offenen Umgebung U von y mit f(y) = 0.

Man kann also versuchen, eine Funktion g zu bestimmen, indem man die Ausgangsfunktionen fi nimmt, nach Variabeln auflöst, wiederum einsetzt und somit gewisse Funktionen fi elemeniert, bis eine gewünschte Funktion g herauskommt.

Wie gesagt, kann es aber sehr schwierig sein, die Funktion g direkt anzugeben. Hilfreich ist es, einige Werkzeuge zu kennen, die auf eine Untermannigfaltigkeit schließen lassen, wie z.B. Satz vom regulären Wert (vergl. Königsberger "Anaylsis 2).

Hier könnte man sich auf folgenden Satz beziehen (vergl. Königsberger "Analysis 2"): Der Graph einer einmal stetig diffbaren Abbildung
$\begin{eqnarray*} f: A \Rightarrow Y \end{eqnarray*}$ auf einer offenen Menge
$\begin{eqnarray*} A \subset X \end{eqnarray*}$
ist eine Untermannigfaltigkeit von
$\begin{eqnarray*} X \times Y \end{eqnarray*}$
Ihre Dimension ist gleich der Dimension des Raumes X.

Durch den Satz über impliziete Funktionen kann man zeigen, dass sich die Lösungsmenge von f(x) =0 in einer Umgebung U um y mit f(y) = 0 genau durch den Graph einer Funktion h(x1, x2) darstellen lässt. Nach obigen Satz ist dann also der Graph von h -- also genau die gesuchte Lösungsmenge innerhalb U - eine zwei dimensionale Untermannigfaltigkeit.

Diese beiden Sätze sind eventuell auch hilfreich, wenn die Funktion f komplizierter ist.

Gruß
Christian

14.07.2011, 16:31

Gast11022013

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Ich kann Dir nicht so richtig folgen; das liegt zweifelsohne daran, dass mein mathematisches Können nicht so groß ist.

Meine Ausgangsfrage hast Du bestimmt irgendwo beantwortet; aber ich erkenne nicht, wo.

Mir ging es um die Umgebung U. Wie man diese bestimmt in einem Fall, wo man zeigen soll, dass eine bestimmte Menge Untermannigfaltigkeit ist.

14.07.2011, 17:26

gonnabphd

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Zitat:

Mir ging es um die Umgebung U. Wie man diese bestimmt in einem Fall, wo man zeigen soll, dass eine bestimmte Menge Untermannigfaltigkeit ist.

Gar nicht. Man bestimmt das U eigetnlich wirklich nie konkret. Man schliesst aus Stetigkeitsgründen darauf, dass es ein solches U geben muss.

Dazu muss man zeigen oder wissen:

Ist $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^m \to \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar und ist x ein regulärer Punkt von f, dann gibt es eine Umgebung U von x, so dass alle y aus U ebenfalls reguläre Punkte sind.

Also reicht es zu zeigen, dass die "ausschneidenden" Funktionen stetig diffbar sind und dass die ausgeschnittene Menge nur aus regulären Punkten besteht.

14.07.2011, 18:02

ChristianII

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Hallo,

wir nehmen den Nullpunkt aus. Durch Auflösen nach Variabeln und wieder einsetzen in die entsprechenden Gleichungen, die durch die Funktionen fi bestimmt sind, können wir f3 "elemenieren", d.h. die Bedingung
f1(x) = f2(x) = f3(x) = 0 wird bereits durch die Bedingung
f1(x) = f2(x) = 0 festgelegt. Wir fassen nun die beiden Funktionen f1 und f2 als Funktion g auf. Die Lösungsmenge von f(x) = 0 (f entspricht wieder der Zusammenfasslung der fi) ist also genau der Lösungsmenge von g(x) =0 in jeder offenen Menge U, die "0" nicht enthält.

Nun sei ein y mit f(y) = 0 gegeben, wobei y nicht der Nullpunkt ist. Dann ist der Rang von Dg(y) = 2 (gemeint ist mit Dg die erste Ableitung von g).
Da Dg stetig differenzierbar ist, gibt es eine Umgebung U um y, in der für alle x gilt:
Dg(x) hat ebenfalls den Rang 2, wobei U laut unserer Bedinung nicht den Nullpunkt enthalten darf.

Da in U die Lösungsmenge von f(x) = 0 mit der Lösungsmenge von g(x) = 0 übereinstimmt, folgt:
Wir setzen:
$\begin{eqnarray*} M := x \in U : f(x) = 0 \end{eqnarray*}$
Dann ist:
$\begin{eqnarray*} U \cap M ={x \in U: g(x) = 0} \end{eqnarray*}$

Also sind die Bedingungen einer 2-dimensionalen Untermannigfaltigkeit erfüllt.
(Wenn Du eine andere Funktion für g angibst, könnte man dies analog rechnen.)

Bei Andwendung des "Satzes über implizite Funktionen" müssen wir g nicht direkt angeben; auch U müssen wir nicht bestimmen. Die Existenz von U folgt direkt aus dem Satz, die von g können wir in Verbindung mit dem vorherigen Satz aus Königsberger begründen.

Bezogen auf unser Beispiel folgt aus dem "Satz über implizite Funktionen":
Es sei f(y) = 0. Dann gibt es eine offene Umgebung U um y, in der die Lösungsmenge von f(y) = 0 genau dem Graph einer einmal stetig differenzierbaren Abbildung h(y1, y2) entspricht.

Nach dem zuvor zitierten Satz aus Könisberger ist der Graph von h eine zweidimenensionale Untermannigfaltikeit, d.h. f(y) = 0 , y e U ist eine zweidimensionale Untermanmigfatigkeit.
Da ein solches U und eine solche Funktion h für jedes y mit f(y) = 0 existiert, folgt die Behauptung.

Gruß
Christian

14.07.2011, 18:36

Gast11022013

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Zitat:

Original von gonnabphd

Gar nicht. Man bestimmt das U eigetnlich wirklich nie konkret.

In meinem Beispiel ist es doch aber so, dass man die Umgebungen konkret angibt/ rausbekommen muss:

Die Umgebungen sind die Mengen, wo jeweils eine Koordinate ungleich Null ist.

Deswegen hatte ich mich das alles ja gefragt.

14.07.2011, 19:03

Gast11022013

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Ah, ich habe schon verstanden:

Ihr wollt mir mitteilen, dass man in der Regel eine andere Charakterisierung einer Untermannnigfaltigkeit verwendet und nicht die als Nullstellengebilde.

Dann muss man u.a. das U nicht konkret angeben.

Wobei man in diesem Beispiel noch durchaus mit der Charakterisierung einer Untermannigfaltigkeit als Nullstellengebilde arbeiten kann - und mit ein bisschen Tüftelei aufs Ergebnis kommt.

14.07.2011, 20:05

ChristianII

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Hallo,

O.K, um die Verwirrung komplett zu machen, aber vielleicht reden wir ja aneinander vorbei.

Wenn M eine Untermannigfaltigkeit ist, gibt es ja zu jedem Punkt a aus M eine offene Umgebung U, auf die Funktionen definiert werden können, wie Du beschrieben hast.

Diese Funktionen "beschreiben" die Untermannigfaltigkeit M aber nur bezüglich dieser eingeschränkten offenen Menge U; wenn wir einen anderen Punkt b aus der Untermannigfaltigkeit nehmen, kann es sein, dass dieser nicht in U liegt, also nicht mehr im Wertebereich von f. Aber wir wissen, dass es zu diesem Punkt b wiederum eine andere Umgebung V gibt, für die es eine andere Funktion t mit denen von Dir definierten Eigenschaften gibt, usw.

Daher begründet man die Existenz einer solchen Funktion f oft (oder meist, ich weiß nicht, wie ich mich da ausrdrücken soll) nur lokal an einer Stelle.

Ist nun die Aufgabenstellung so gemeint, dass man in Deinem Beispiel zeigen kann, dass man nur mit einer einzigen Funktion f auf der offenen Menge U, die nur den Nullpunkt nicht enthält, auskommt zum Beschreiben der Untermannigfaltigkeit? Oder ist die offene Menge M gesucht, innerhalb derer die Untermannigfaltigkeit verläuft?

Gruß
Christian

14.07.2011, 20:23

Gast11022013

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RE: Untermannigfaltigkeit
Die Musterlösung sieht vor, dass man vier Fälle betrachtet:

1.) $\begin{eqnarray*} x_1\neq 0 \end{eqnarray*}$

2.) $\begin{eqnarray*} x_2\neq 0 \end{eqnarray*}$

3.) $\begin{eqnarray*} x_3\neq 0 \end{eqnarray*}$

4. $\begin{eqnarray*} x_4\neq 0 \end{eqnarray*}$

Aus jedem Fall wird jeweils "hergeleitet", dass man mit 2 der gegebenen 3 Funktionen auskommt; damit hat man dann jeweils Umgebungen definiert.

-----------------------------------

Noch eine andere Frage:

Du hattest oben den Weg über den "Satz über die implizite Funktion" erwähnt.
Und dabei auf einen Satz aus Königsberger, "Analysis 2" verwiesen.

Ist dieser Satz die Aussage, dass sich eine Untermannigfaltigkeit lokal als Graph darstellen lässt? So kenne ich das nämlich aus Forster, "Analysis 3".

Zuerst zeigt man also (mit dem Satz über implizite Funktionen"), dass
es eine Funktion $\begin{eqnarray*} g((x_1,x_2))=(x_3,x_4) \end{eqnarray*}$ gibt und dann ist nach Forster (so, wie ich das kenne) die gegebene Menge eine Untermannigfaltigkeit der Dimension 2.

War dies gemeint?

14.07.2011, 20:53

ChristianII

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Hallo,

ja, ich denke, das das, was Du aus Forster meinst, auf dasselbe rauskommt.

Peinlicherweise ist mir nun beim Durchsehen ein Fehler aufgefallen; ich glaub, ich brauch Urlaub. Man kann nicht folgern, dass y1 und y3 nicht Null sein dürfen; daher ist meine Schlussfolgerung, nur mit einer Funktion g auszukommen, falsch.

Aber man kann annehmen, dass mindestens ein yi nicht Null ist. Je nachdem, welches, kann man dann nach den anderen Varialbeln auflösen, da man ja durch yi dividieren darf. Damit kann man dann jeweils eine Funktion fi elemenieren, ein g definieren und zeigen, dass dieses die gewünschten Eigenschaften erfüllt.

Den Satz über implizite Funktionen kann man aber analog anwenden; je nachdem, welches yi nicht Null ist, begründet man die Existenz einer Menge U und einer Funktion h.

Gruß
Christian

14.07.2011, 21:04

Gast11022013

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Muss man bei dem Satz von der impliziten Funktion denn hier auch die Fälle unterscheiden, dass x1 oder x2 oder x3 oder x4 ungleich Null sind?

Oder wie meintest Du das gerade?

14.07.2011, 23:59

ChristianII

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Hallo,

um den Satz über implizite Funktionen anwenden zu können, benötigt man eine Funktion
$\begin{eqnarray*} t: \mathbb R^{3} \Rightarrow \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$
so dass (in einer Umgebung U) t(x) = 0 genau dann gilt, wenn f(x) = 0.

Man könnte dies erreichen, indem man wieder jeweils eine Funktion fi elemeniert - je nachdem, welches xi nicht "0" ist - und die übrigen beiden f zur Funktion t zusammenfasst.

Nun muss man zwei Kompenenten(richtungen) xi und xj finden, so dass, wenn man nach diesen Komponenten partiell differenziert und dadurch die Matrix M enthält, der Rang von M = 2 ist (wir wissen ja, dass wir eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit suchen.)
Nun muss man schauen, welche beiden Komponenten dies erfüllen unter welchen Bedingungen erfüllen, die zu bestimmten Fallunterscheidungen führen könnten.

Hier bringt der Satz über implizite Funktionen in Verbindung des anderen Satzes also in diesem Fall der Anwendung nicht wirklich eine Erleichterung, aber es ist gut, diese Technik für andere Problemfälle zu kennen.

Vielleicht kennt jemand aber eine ganz elegante Lösung? Auch eine Begründung mithilfe des "Satzes vom regulären Wert" sehe ich zurzeit nur über den Umweg, eine Funktion fi zu elemenieren.

Gruß
Christian

15.07.2011, 11:02

Gast11022013

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Warum muss es unbedingt eine Funktion

$\begin{eqnarray*} t:\mathbb R^3\to \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ sein?

Also, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird, ist klar.
Und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nimmt man, weil "die rechte Seite der Abbildung" beim Satz über die implizite Funktion halt kleinere Dimension haben muss?

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