stetigkeit

17.12.2006, 14:38

cosinüsschen

stetigkeit

also ich komm gar nicht klar mit der lipschitz und der gleichmäßigen stetigkeit..kenn zwar die definitionen, aber die bringen mich nicht wirklich weiter..könnt ihr mir das an nem beispiel erklären? z.b. an
$\begin{eqnarray*} x\Rightarrow x^{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$
danke schonmal

17.12.2006, 14:50

tigerbine

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RE: stetigkeit
Schreib doch mal die Def von Lipschitzstetig hin, bitte

17.12.2006, 18:49

cosinüsschen

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$\begin{eqnarray*} \mid f(x)-f(y) \mid \leq L\mid x-y \mid \end{eqnarray*}$
in diesem fall wäre:
\mid f(x)-f(y) \mid = \mid x^{3} -y^{3} \mid \leq L\mid x-y \mid
So und was mach ich jetzt?

17.12.2006, 18:50

cosinüsschen

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oops..meinte
$\begin{eqnarray*} \mid f(x)-f(y) \mid = \mid x^{3} -y^{3} \mid \leq L\mid x-y \mid \end{eqnarray*}$

17.12.2006, 18:53

tigerbine

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Ok, dann haben wir ja schon mal was in der Hand. Meinst Du denn, dass es ein solches L gibt?

17.12.2006, 19:33

cosinüsschen

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ja das weiß ich ja nicht traurig

17.12.2006, 19:39

tigerbine

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Ich dachte du hättest eine Vermutung Augenzwinkern

Versuch dochmal y durch x + delta auszudrücken.

17.12.2006, 19:47

tigerbine

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Das klassische Beispiel ist ja die Wurzelfunktion. Lies mal untem in diesem Link. hast Du eine Idee, wie Du den Beweis übertragen kannst?

17.12.2006, 20:02

tigerbine

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die Definition besagt, dass es dieses L für alle x,y der Definitionmenge geben muss. Wenn wir vermuten, dass es ein solches L nicht gibt, reicht es ja, wenn wir ein Gegenbeispiel konstruieren. Dann können wir z.B. y = 0 Wählen. nun schauen wir, ob es ein L gibt, dass für alle x die Bedingung erfüllt ist.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3-0}{x-0} = \lim_{x \to \infty} x^2 \end{eqnarray*}$

Sieht wohl eher schlecht aus. Wenn man in egenstz dazu eine Funktion hat, bei der man L-Stetigkeit vermutet, könnte man sich, sofern sie differenzierbar ist, die erste Ableitung anschauen. Ist diese von oben beschränkt, so haben wir unser L schon gefunden.

17.12.2006, 20:47

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von tigerbine
Wenn man in egenstz dazu eine Funktion hat, bei der man L-Stetigkeit vermutet, könnte man sich, sofern sie differenzierbar ist, die erste Ableitung anschauen. Ist diese von oben beschränkt, so haben wir unser L schon gefunden.

Sie muss natürlich auch nach unten beschränkt sein! Denn in der Definition der Lipschitzstetigkeit stehen Beträge.

Gruß MSS

17.12.2006, 20:51

cosinüsschen

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mmh..weiß nicht wie verwirrt