Matrizen

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Cevas Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen
Meine Frage:


Im Text, den ich gerade lese, steht noch: und Q soll irreduzibel sein.
Warum soll nunmal sein: ?

Meine Ideen:
Ich habe es versucht über die Einträge der Matrix Q zu lösen.
Die Einträge sind aus GF(P).
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Hallo Cevas,

Kannst Du die Begriffe mal ein wenig erläutern? Was hat es mit dem auf sich und was soll sein?

Gruß,
Reksilat.
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
eine irreduzible Matrix und p eine Primzahl.
Es gibt noch eine Definition von C und die lautet:
Sei W ein Vektorraum und sei :

Ich habe es so interpretiert, dass C alle Element aus W beinhaltet, die durch unverändert bleiben.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
So habe ich es mir auch gedacht, aber dann habe ich nicht verstanden, weshalb im Index von diesem (Zentralisator, bzw. Centralizer) das steht, denn darauf operiert das doch nicht als lineare Abbildung.
Imho wäre in der ersten Zeile sinnvoller. Also


In der zweiten Zeile ist dagegen wohl der Zentralisator im Endomorphismenring von gemeint, also
Die Menge aller -Matrizen, die mit vertauschen.
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
und warum soll der Zentralisator zu K[Q] isomorph zu in dem fall?
Hast du eine Idee?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Nun, sieht man, wenn man zeigen kann, dass das Minimalpolynom von den Grad m hat. Aus der Irreduzibilität von müsste eigentlich folgen, dass auch das char. polynom irreduzibel ist - bin mir da aber nicht so sicher.
Dann hat über den Erweiterungsgrad und die Aussage folgt über die Eindeutigkeit der endlichen Körper.
 
 
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Jetzt bleibt es nur noch zu wissen, wie der Zusammenhang zwischen dem Zentralisator und die Körpererweiterung zu verstehen. Gibt es da irgend eine Grundlage, die mir entfält?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Eine Inklusion ist ziemlich offensichtlich. und Potenzen und Summen von vertauschen natürlich mit .
Andersrum ist es schwieriger, aber wiederum über die Irreduzibilität von kann man sehen, dass über dem algebraischen Abschluss von diagonalisierbar ist, mit paarweise verschiedenen Eigenwerten. Solche Diagonalmatrizen vertauschen aber nur mit anderen Diagonalmatrizen und insofern hat der Zentralisator von als -Vektorraum maximal die Dimension .

Dann ist aber eine Seite der Gleichung in der anderen enthalten, beide haben gleiche Dimension und insofern gilt Gleichheit.
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Weisst du wo man so eine Beweisführung nachlesen kann?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Ich weiß ja nicht mal, wo dieses konkrete Problem auftaucht. verwirrt

Eigentlich sollte man das mit dem Wissen im Umfang einer Algebra-Grundvorlesung lösen können. Andernfalls wird es aber auch schwer, einen fremden Beweis überhaupt zu verstehen.

Gruß,
Reksilat.
Cevas Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Matrizen
Vielen Dank Reksilat, du hast mir gerade enorm geholfen.
Danke vielmals!!
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