Ungleichung mit zwei Unbekannten

14.07.2011, 15:02

MrLightspeed

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Ungleichung mit zwei Unbekannten

Hallo ihr,

Ich bin gerade auf Grenzwertsuche und bin auf das hier gestoßen:

$\begin{eqnarray*} (x-y)^2 \geq0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+y)^2\geq0 \end{eqnarray*}$

Aus der ersten Ungleichung folgt:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2\geq 2xy = \frac{1}{2} \geq \frac {xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Das ist mir klar. bei Bildung des Kehrwertes dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Jetzt aber die Zweite:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2\geq-2xy = -\frac{1}{2}\leq\frac{xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

So stehts im Buch gerechnet. Wenn ich die zweite aber selber Umstelle,
dividiere ich erstmal durch $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ und dann bilde ich den Kehrwert,
wobei sich das Ungleichheitszeichen umdreht. Dann kommt nicht $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\leq\frac{xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ raus, sondern $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}\geq\frac{xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Was versemmel ich denn die ganze Zeit?

14.07.2011, 15:08

tigerbine

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RE: Ungleichung mit zwei Unbekannten
Was ist über x und y angegeben?

14.07.2011, 15:41

Veryape

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Das Ungleichheitszeichen dreht sich nur bei Divison oder Multiplikation durch minus um.

Mit dem Kehrwert hat das überhaupt nichts zu tun.

5<6 *-1 oder durch -1

-5<-6 falsch

daher umdrehn -5>-6

14.07.2011, 15:43

tigerbine

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RE: Ungleichung mit zwei Unbekannten

Zitat:

Original von tigerbine
Was ist über x und y angegeben?

Zunächst muss doch erst mal geklärt werden, dass man nicht durch 0 teilt. Und bei

$\begin{eqnarray*} (x+y)^2\geq0 \end{eqnarray*}$

ist das ja nicht ausgeschlossen.

14.07.2011, 15:46

MrLightspeed

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hm wie genau meinst du das?

also die Funktion heißt:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

also bei der Stelle (0,0) ist sie unbestimmt in der Form $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

Man Beweist also die Gültigkeit von

$\begin{eqnarray*} 0\leq|\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}|\leq\frac{1}{2}|xy| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall (x,y) \in R^2/{(0,0)} \end{eqnarray*}$

ok, hier hat man mit xy multipliziert. Ich denke, dass links die 0 steht, weil das ja eine Anfangsbedingung war, also $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ schonmal wegfällt...

damit erhält man dann:

$\begin{eqnarray*} 0\leq \lim_{(x,y) \to (0,0)} |\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}| = g \leq \frac{1}{2} \lim_{(x,y) \to (0,0)}|xy| = 0 \end{eqnarray*}$

hm. ich glaub so schwierig ist das gar nicht, aber ist meine erste Aufgabe von der art traurig

traurig

14.07.2011, 15:49

MrLightspeed

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achja und stimmt, wieso sich das ungleichheitszeichen beim
Kehrwert nicht umdrehen kann ist ja klar... sorry, habs verpeilt. Ich meine
der Kehrwert auf beiden Seiten ändert nichts an der Proportion...

hm aber trotzdem versteh ich nicht, warum die die Gleichungen so
aufgelöst haben! unglücklich

unglücklich

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14.07.2011, 15:58

MrLightspeed

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Zitat:

Original von MrLightspeed
achja und stimmt, wieso sich das ungleichheitszeichen beim
Kehrwert nicht umdrehen kann ist ja klar... sorry, habs verpeilt. Ich meine
der Kehrwert auf beiden Seiten ändert nichts an der Proportion...

hm aber trotzdem versteh ich nicht, warum die die Gleichungen so
aufgelöst haben! unglücklich

unglücklich

EDIT: Weil ich rechne so:

$\begin{eqnarray*} (x-y)^2\geq0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2-2xy+y^2\geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2\geq-2xy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+y^2}{xy}\geq -2 \end{eqnarray*}$
jetzt nehmen die noch den Kehrwert auf jeder Seite.
Dann bin ich aber immer noch bei:
$\begin{eqnarray*} \frac{xy}{x^2+y^2}\geq\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

sorry, eigentlich wollte ich editieren.

14.07.2011, 15:59

tigerbine

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Zitat:

also die Funktion heißt:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Dann ist sie in (0,0) nicht definiert. Daher dann:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2\geq-2xy = -\frac{1}{2}\leq\frac{xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+y)^2 &&\geq 0<br /> x^2+2xy+y^2 &&\geq 0<br /> x^2+y^2&&\geq-2xy<br /> -\frac{1}{2}\cdot(x^2+y^2) &&\leq xy<br /> -\frac{1}{2}&&\leq \frac{xy}{x^2+y^2}<br /> \end{eqnarray*}$

Zitat:

dividiere ich erstmal durch $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ und dann bilde ich den Kehrwert,

ISt kein guter Weg. Woher weißt du ob xy=0, xy>0, xy<0 gilt? Ebenso was passiert mit dem Ungleichheitszeichen beim Umkehren

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} > \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 < 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} > -\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2 > -3 \end{eqnarray*}$

14.07.2011, 16:03

René Gruber

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Nur eine kurze Anmerkung zur Notation: Ich finde diese Schreibweise als Gleichungs-/Ungleichungskette

Zitat:

Original von MrLightspeed
Aus der ersten Ungleichung folgt:
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2\geq 2xy = \frac{1}{2} \geq \frac {xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

ziemlich übel. Tatsächlich meinst du ja wohl

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2\geq 2xy \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2} \geq \frac {xy}{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ .

Selbstverständlich kriegt das der aufmerksame Leser irgendwie mit, aber es muss ja wohl nicht sein, dass der sich da erstmal verschlucken muss. unglücklich

unglücklich

14.07.2011, 16:09

MrLightspeed

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ok danke René , hast mir heute den Tag gerettet.

Du bist einer derer Menschen die aufhören sollten Ungelernteren die Zeit mit Unwichtigkeiten
zu verschwenden!

Ich will eine Frage beantwortet haben und schon geht hier das gewusel los. Sei froh, dass
ich zum Beispiel überhaupt latex benutze im Gegensatz zu vielen anderen hier! ich habe ziemlich viel wichtere Dinge zu tun, als mich mit sowas auseinanderzusetzen okay? Also verschwende bitte nicht meine Zeit mit sowas!

14.07.2011, 16:13

tigerbine

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MrLightspeed:

Bitte überdenke deinen Ton. Latex zu benutzen ist kein Goddie für uns Helfer, sondern das ist Grundage eines lesbaren Austauschs. Wir machen Ausnahmen, aber die Ausnahmen nicht zur Regel.

Und René hat mit seinem Kommentar doch Recht. Was wenn es nicht nur Zeitnot deinerseits war, sondern sich didaktische Fehler einschleichen? Was, wenn du für so was in einer Klausur den entscheidenden Punkt abgezogen bekommst?

14.07.2011, 16:14

René Gruber

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Immer schön, wenn man so nette und höfliche Fragesteller antrifft. Viel Spaß noch mit deinem Stil und Umgangston.

14.07.2011, 16:26

MrLightspeed

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nimm dir ein beispiel an Tigerbiene, die hat mir gerade ziemlich cool geholfen.
Sorry wenn ich grad so überreagiere, aber weißt du, solche Antworten sind oft
der Grund warum Leute wie ich als nicht-Mathematiker sich nicht trauen hier in solchen Foren
zu schreiben! sag doch einfach mit einem Satz: es ist nicht = es ist $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$
ok? damit hättest du mir mehr geholfen als 5 sätze zu einem blöden kleinen Fehler runterzurattern. Sowas ist sooo übel. ich sitz hier gerade mit ein paar Freunden und Zitate:
"was für freaks treiben sich denn rum"
Und ich sag dir was. Wir sind keine Idioten. Also sag mir kurz und knapp was richtig oder falsch ist. Oder es bestätgien sich hier
so einige Vorurteile! Du hast zwar einiges drauf in Mathe, aber du bist ein pädagogischer Nichtsnutz...

14.07.2011, 16:29

MrLightspeed

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Zitat:

Original von tigerbine
MrLightspeed:

Und René hat mit seinem Kommentar doch Recht.

Und ich sag dir Tigerbiene, dass das kein Kommentar bzw. keine Hilfe, sondern
eine Kritik war! Er schreibt es ist ein Stolperstein für Euch. Dabei ist es ein Fehler
meinerseits. Nicht mehr und nicht weniger! Ein nichtgewollter Fehler ist
einfach nur zu verbessern. Ein gewollter Fehler ist zu kritisieren. Und jetzt hört
besser auf das ganze Umzudrehen. Ich danke euch trotzdem für eure Bemühungen.

14.07.2011, 16:31

René Gruber

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Und du hast in deinen letzten drei Beiträgen 26 Sätze voller Beleidigungen und toller Ratschläge geschrieben. Ich würde mal sagen, in erster Linie warst du es, der hier deine Zeit verschwendet hat. Hättest meinen Beitrag ja einfach ignorieren können, statt dich darüber zu echauffieren - aber offenbar hast du zuviel Zeit. Finger2

Finger2

P.S.: Nach den vielen guten Ratschlägen von dir, wie ich dich unterwürfigst und höflichst auf deinen Fehler hätte aufmerksam machen sollen, hier mal die Reaktion, wie ich sie in etwa erwartet hätte:

Zitat:

Alles klar, ich werde das nächste mal dran denken und es beachten.

EDIT: Ich kann's kaum fassen, dass ich diesem bornierten Widerling schon mal geholfen habe:

Konvergenz vs. Divergenz bei harmonischen Reihen geschockt

geschockt

Wird in Zukunft gewiss nicht wieder vorkommen.

14.07.2011, 16:36

tigerbine

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Zitat:

Ein nichtgewollter Fehler ist einfach nur zu verbessern. Ein gewollter Fehler ist zu kritisieren.

Also mir wird das nun zu viel, auch noch interpretieren zu sollen, ob Fehler gewollt oder nichtgewollt sind. Für mich ist nur klar, dass es nicht nur ein einfacher Tippfehler war. Daher war das Ansprechen korrekt. Mehr zu differenzieren halte ich für Kontraproduktiv und meine Zeit ist mir auch zu schade dafür. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hoffe die sonstigen Fragen haben sich geklärt.

Ciao. Wink

Wink

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