Eigenvektoren aus gelöster Matrix ablesen |
| 14.07.2011, 17:08 | rondos | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Eigenvektoren aus gelöster Matrix ablesen bisher hatte ich nie Probleme bei dem Bestimmen der Eigenvektoren. In meiner Klausur zur Linearen Algebra1 hatte ich es auch richtig. Nun steht die Klausur zur LA2 an und während eines Übungszettels bin ich auf etwas gestoßen, was mich sehr stutzig gemacht hat! Nach Anwenden von Gauß komme ich auf folgende Matrix: 1 0 -1/2 -1/2 1/2 * wurzel(2) 0 1 -1/2 -1/2 -1/2 * wurzel(2) 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Bisher habe ich die Eigenvektoren dann immer so abgelesen: Ich schau, ab welcher Spalte die Diagonale unterbrochen wird. In diesem Fall ab der 4. Dann setze ich mir für meinen Eigenvektor an diese Stelle meine 1 für den Eigenvektor und nehme von dem Rest den negativen Wert. 1 0 -1/2 1/2 -1/2 * wurzel(2) 0 1 -1/2 1/2 1/2 * wurzel(2) 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Die Eigenvektoren wären also: (1/2,1/2,1,1,0)^T und (-1/2*wurzel(2), 1/2*wurzel(2), 0, 0, 1)^T Problem: Der erste Vektor ist schlichtweg falsch. Wenn ich das Ganze als LGS mit a,b,c,d,e auffasse und mir die Variablen wähle, erhalte ich den richtigen Vektor (1,1,1,1,0)^T. Habe ich es ewig falsch gemacht und mit Glück die richtigen Ergebnisse erhalten? Der 2. Vektor ist in diesem Fall ja auch wieder richtig! Ich bitte um Hilfe! |
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| 15.07.2011, 11:40 | Reksilat | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi rondos, Dein Vorgehen finde ich ziemlich merkwürdig. Du betrachtest dabei ja nur die letzten beiden Spalten und lässt einige Einträge der Matrix völlig außer acht. 
Das würde ja bedeuten, dass es völlig egal, ist, welche Werte zum Beispiel an den Stelle (1,2), (1,3) und (2,3) stehen. Anschaulich sollte aber klar sein, dass das sehr wohl von Bedeutung ist. Wenn zum Beispiel an der Stelle (1,2) eine 5 satt der 0 stehen würde, wäre auch Dein zweiter Vektor falsch. Allein dass sollte zeigen, dass die Korrektheit des Ergebnisses Zufall ist. Löse so was in Zukunft lieber ganz normal mit Rückwärtssubstitution. 
Edit: Dein Vorgehen funktioniert allerdings, wenn in den m Zeilen, die nicht Null sind, die erste m Spalten die Einheitsmatrix bilden. Das heißt, wenn die Matrix diese Gestalt hat: In Deinem Fall müsstest Du also noch an den Stellen (1,3) und (2,3) eine Null erzeugen. Gruß, Reksilat. |
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| 15.07.2011, 19:45 | rondos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt, das habe ich übersehen! Steht sogar im LA1 Skript bzgl LGS, dass die Matrix diese Form haben muss. Aber echt gefährliche Sache: BSP: Im Skript war am Ende die Matrix gegeben: 1 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 Da wurde noch eine Spaltenvertauschung durchgeführt, die dann später rückgängig gemacht wurde. Vektoren sind am Ende: ((-1,1,0,0)) und ((-1,0,-2,1)) Und jetzt mal so wie ich es mir gemerkt hatte: 1 1 0 1 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 Zeilenvertauschung ===> 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 Vektoren ablesen mittels negativer Werte===> 1 -1 0 -1 0 1 0 0 0 0 1 -2 0 0 0 1 Und diese Vorgehensweise passte bisher immer - gut zu sehen, dass es einfach Zufall ist / von gewissen Sachen abhängt, ich schaue mir das jetzt nochmal genauer an. |
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| 15.07.2011, 19:52 | rondos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Soo, perfekt. Bei meiner Auflösung der Matrix fehlte in der Tat noch der letzte Schritt - dem war ich mir nie bewusst. Wie du schon sagtest, das Rückwärtseinsetzen. Wenn ich also nun in der Matrix aus meinem 1. Beitrag die 3. Zeile halbiere und auf die 1 addiere, bekomme ich als Vektor auch (1,1,1,1,0) raus. Danke für deinen Hinweis - es ist ja auch simpel, aber leider nie bedacht! |
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