Parametrisierung einer Kurve auf einer Fläche

14.07.2011, 17:42	cantor	Auf diesen Beitrag antworten »
Parametrisierung einer Kurve auf einer Fläche Meine Frage: Hallo Ihr, hier die Aufgabe: Auf die Mantelfläche einer drehzylindrischen Dose mit Radius R wird ein kreisförmiges Etikett mit Radius r aufgeklebt. Es sei c die Randkurve des Etiketts. Nun soll c parametrisiert werden Meine Ideen: Also ich hab die Parametrisierung des Zylinders (Rcos(phi),Rsin(phi),z) und weiß, dass jeder Punkt auf c auf dem Zylinder liegt und somit die Parametrisierung erfüllt. Mehr weiß ich leider nicht
16.07.2011, 09:45	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten entfaltest du den Zylindermantel zu einem Rechteck und legst das so in ein kartesisches $\begin{eqnarray} uv \end{eqnarray}$ -Koordinatensystem, daß, wenn $\begin{eqnarray} R,H>0 \end{eqnarray}$ Radius und Höhe des Zylinders sind, das Rechteck die Ecken $\begin{eqnarray} \left( \pm \pi R , \pm \frac{H}{2} \right) \end{eqnarray}$ bekommt. Das Zusammenkleben zum Zylindermantel wird dann durch die Abbildung $\begin{eqnarray} \mathcal{M}: \ (u,v) \mapsto (x,y,z) = \left( R \cos \frac{u}{R} , R \sin \frac{u}{R} , v \right) \ \ \text{mit} \ \ - \pi R \leq u \leq \pi R, \ - \frac{H}{2} \leq v \leq \frac{H}{2} \end{eqnarray}$ geleistet. Der Zylinder hat die $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ -Achse als Rotationsachse. Die Randkreise des Zylinders befinden sich auf den Niveaus $\begin{eqnarray} z = \pm \frac{H}{2} \end{eqnarray}$ . Die Klebekante ist bei $\begin{eqnarray} x=-R,\, y=0 \end{eqnarray}$ (Randwerte für $\begin{eqnarray} u \end{eqnarray}$ ). Und jetzt beschreibst du in bekannter Weise im $\begin{eqnarray} uv \end{eqnarray}$ -Koordinatensystem mit Hilfe eines Parameters $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ einen Kreis um den Ursprung vom Radius $\begin{eqnarray} r>0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} u = \alpha(t) \, , \ v = \beta(t) \end{eqnarray}$ Jetzt mußt du nur noch $\begin{eqnarray} u,v \end{eqnarray}$ in der obigen Klebeabbildung entsprechend substituieren: $\begin{eqnarray} \mathcal{M} \left( \alpha(t) , \beta(t) \right) \end{eqnarray}$ .
16.07.2011, 11:30	cantor	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank!! Das retttet wahrscheinlich meinen Schein!

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