Richtungsableitungen

15.07.2011, 09:50

Automatrix

Richtungsableitungen

Guten Morgen!

Partielle Ableitungen sind einfach, aber wohl ein Spezialfall der Richtungsableitungen. Wie berechne ich Richtungsableitungen?

Konkret die Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f : R^2 ->R \end{eqnarray*}$ definiert durch
$\begin{eqnarray*} f (x, y) = \frac{x^3 * y }{x^4 +y^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y)\neq (0,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (x,y) = (0,0) \end{eqnarray*}$

Für Vektoren $\begin{eqnarray*} v \in R^2 \diagdown {{(0, 0)}} \end{eqnarray*}$ für die die Richtungsableitung $\begin{eqnarray*} (D_v f )_{(0,0)} \end{eqnarray*}$ von f in 0 in Richtung v existiert, bestimme man den Wert dieser Richtungsableitung.

Danke schon einmal! smile

15.07.2011, 13:00

Huggy

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RE: Richtungsableitungen
Kennst du eine Beziehung zwischen der Richtungsableitung und den partiellen Ableitungen?
An welche Voraussetzung ist diese Beziehung gebunden?
Ist diese Voraussetzung erfüllt?

15.07.2011, 13:16

Automatrix

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Naja, partielle Ableitungen sind Richtungsableitungen in Richtung der x_i-Achsen.

Was du mit Voraussetzungen meinst, weiß ich nicht.

15.07.2011, 13:25

Huggy

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Zitat:

Original von Automatrix
Naja, partielle Ableitungen sind Richtungsableitungen in Richtung der x_i-Achsen.

Das ist zwar richtig, aber nicht das, was ich meinte. Die partielle Ableitung wird üblicherweise unabhängig von der Definition der Richtungsableitung definiert. Man hat also eine Definition der Richtungsableitung und eine davon unabhängige Definition der partiellen Ableitung.
Meistens kann man die Richtungsableitung mit Hilfe der partiellen Ableitungen berechnen. Wie geht das?
Und damit das geht, müssen bestimmte Voraussetzungen erfüllt sein. Welche?

15.07.2011, 14:17

Automatrix

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Hm, ich weiß nicht so recht. Die Definition der Richtungsableitung:

$\begin{eqnarray*} D_v(f)_p=\lim_{t \to 0} \frac{f(p+tv)-f(p)}{t} \end{eqnarray*}$ wobei im Fall meiner Aufgabe $\begin{eqnarray*} p=(0,0) \end{eqnarray*}$ ist.

Durch einsetzen von p und $\begin{eqnarray*} v=(x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ komme ich auf
$\begin{eqnarray*} D_v(f)_{(0,0)}=\lim_{t \to 0} \frac{f((0,0)+t(x_1,x_2))-f(0,0)}{t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\lim_{t \to 0} \frac{f(tx_1,tx_2)-0}{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = ... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{t \to 0} \frac{x_1^3x_2}{\frac{x_1}{t}+\frac{x_2^2}{t^3}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 0 \end{eqnarray*}$

Das wäre dann der Wert aller Richtungsableitungen.

Stimmt das?

Wenn ja: was sagt mir das? Ich weiß rein gar nichts über die Bedeutung der Richtungsableitung.

15.07.2011, 16:35

Huggy

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Du möchtest die Richtungsableitung direkt berechnen ohne den Weg/Umweg über die partielle Ableitung. Das geht auch. Und dein Ergebnis ist auch richtig, abgesehen von Fehlern in der letzten Zeile. Da muss es doch heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{tx^3y}{t^2x^4+y^2} \end{eqnarray*}$

Das führt aber auch zu Null für den Wert aller Richtungsableitungen.

Die Richtungsableitung ist von ihrer Bedeutung her einfach die gewöhnliche Ableitung, wenn man in einer bestimmten Richtung durch einen Punkt geht. Wenn der fragliche Punkt der Punkt (0, 0) ist, wie bei dieser Aufgabe, wird das vielleicht ein wenig anschaulicher, wenn man sagt, ich gehe entlang der Geraden y = kx durch den Punkt (0, 0). Setzt man das in die Funktion ein, erhält man eine nur noch von x und dem Parameter k abhängige Funktion. Man kann dann die gewöhnliche Ableitung bezüglich x bilden. Das ist dann die Richtungsableitung entlang der durch k definierten Geraden.

15.07.2011, 16:45

Automatrix

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Okay, hab's verstanden! Danke für deine Hilfe! smile

15.07.2011, 17:14

Automatrix

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Noch mal eine kurze Frage:

was mach ich denn, wenn eine Funktion f in den R² geht? Dann lande ich beim berechnen des Richtungsvektors doch z.B. bei etwas wie

$\begin{eqnarray*} D_v(f)_p=\lim_{t \to 0} \frac{f(p+tv)-f(p)}{t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =... \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{t \to 0} \frac{(4t, 2t³+3t²)}{t} \end{eqnarray*}$

Wie geht man denn damit um?

15.07.2011, 17:31

Huggy

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Wenn man eine Funktion/Abbildung in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ hat, ist das nichts anderes als ein Vektor aus n Abbildungen in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Und die Richtungsableitung dieser Abbildung ist der Vektor aus den n einzelnen Richtungsableitungen in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

15.07.2011, 17:37

Automatrix

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Also in meinem Fall

$\begin{eqnarray*} =\lim_{t \to 0} \frac{(4t, 2t³+3t²)}{t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (4,0) \end{eqnarray*}$

?

15.07.2011, 17:59

Huggy

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Zitat:

Original von Automatrix
Also in meinem Fall

Deinen Fall hast du nicht ausreichend definiert. Ich bin kein Gedankenleser.

15.07.2011, 18:19

Automatrix

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Mein Fall: Funktion in den R² und bei Anwendung der obigen Definition lande ich bei

$\begin{eqnarray*} =\lim_{t \to 0} \frac{(4t, 2t³+3t²)}{t} \end{eqnarray*}$ was ja identisch wäre mit

$\begin{eqnarray*} =\lim_{t \to 0} (\frac{4t}{t}, \frac{2t³+3t²}{t}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\lim_{t \to 0} (4, 2t²+3t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = (4,0) \end{eqnarray*}$

15.07.2011, 19:17

Huggy

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Dass es um eine Abbildung in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ geht, kann man ja vermuten. Man kann auch noch vermuten, dass es um eine Abbildung vom $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ geht. Aber um welche Abbildung?

Das einzige, was du angibst, ist ein Ausdruck für die Richtungsableitung dieser mir unbekannten Funktion, von dem ich noch vermuten kann, dass es ein Ausdruck für die Richtungsableitung im Punkt (0, 0) sein soll.

Nun kann man haufenweise Funktionen vom $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ in den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ konstruieren, die die von dir angebene Richtungsableitung im Punkt (0, 0) haben. Das bedeutet aber keineswegs, dass die irgendwo in deinen Gehirnwindungen versteckte Funktion, die du bisher nicht preisgegeben hast, auch diese Richtungsableitung hat.

Wenn du nun clever bist, nennst du jetzt eine Funktion, die die von dir postulierte Richtungsableitung hat, und postulierst, dass jedermann mit gesundem Menschenverstand doch hätte erkennen müssen, dass du genau diese Funktion gemeint hast. Womit ich echt blöd dastehe.

16.07.2011, 11:07

Automatrix

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Die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=(x+y+z,xyz) \end{eqnarray*}$

16.07.2011, 12:47

Huggy

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Dann ist, wie ich schon sagte

$\begin{eqnarray*} D_{\vec v}(f)=(D_{\vec v}(x+y+z), D_{\vec v}(xyz)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D_{\vec v}(x+y+z) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_{\vec v}(xyz) \end{eqnarray*}$ kannst du mit deiner Formel berechnen. Ich kann allerdings keinen Zusammenhang mit

Zitat:

Original von Automatrix
Mein Fall: Funktion in den R² und bei Anwendung der obigen Definition lande ich bei

$\begin{eqnarray*} =\lim_{t \to 0} \frac{(4t, 2t³+3t²)}{t} \end{eqnarray*}$ was ja identisch wäre mit

erkennen. Anzumerken wäre noch, dass $\begin{eqnarray*} \vec v \end{eqnarray*}$ ein Einheitsvektor sein muss. Sonst müsste in der Formel noch durch $\begin{eqnarray*} |\vec v| \end{eqnarray*}$ geteilt werden. Bequemer ist häufig die Berechnung mit Hilfe der partiellen Ableitungen, aber das hattet ihr anscheinend noch nicht.

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