Trapez & Simpsonregel

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C21 Auf diesen Beitrag antworten »
Trapez & Simpsonregel
Meine Frage:
Berechnen sie die Näherungen für die beiden folgenden Integrale mit der Trapez- bzw. mit der Simpsonregel, und bestimmen sie den tatsächlichen Fehler, indem sie die exakten Werte berechnen

f(x)=\int_0^2 \! e^{2x}\sin(3x) \, dx
g(x)=\int_0^2 \! \frac{2}{x^2+4} \, dx

Meine Ideen:
also ich habe nur folgende Ergebnise raus und würde gerne von euch wissen ob das so stimmt oder ob meine Rechnung falsch ist.

für f(x):
->Trapez:5,70706
->Simpson:2,417971067

für g(x):
->Trapez:0,75
->Simpson: 0,7833

Die Werte für den tatsächlichen Fehler sehen etwas komisch (finde ich) aus:

Ich habe die Formel Tatsächlicher Wert (Habe das jeweilige Integral "normal" ausgerechnet) - den Numierten Wert

-> reeler Wert - (Trapez) f(x) = -17,395
-> reeler Wert - (Simpson) f(x) = arctan 1 - 2,417971067

-> reeler Wert - (Trapez) g(x) = -12,375
-> reeler Wert - (Simpson) g(x) = arctan 1 - 0,783333
CN123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trapez & Simpsonregel
Die Formeln der Aufgabenstellung lauten:



und



sorry :-)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trapez & Simpsonregel


Kann deine positiven Werten nicht reproduzieren. Zeig mal die Rechnung für die Trapezregel.

code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
Trapezregel, n=1
----------------
f(a)= exp(2*0)*sin(3*0)
f(b)= exp(2*2)*sin(3*2)
 
IT=(b-a)/2 * (f(a)+f(b))
  =([2]-[0])/2 * ([0]+[-15.2556]) 
  =-15.2556 
CN123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trapez & Simpsonregel
Also für die Trapezregel habe ich diese Formel verwendet:



mit f(0)=0 und
f(2)=5,70706

dann also einfach in die Formel eingesetzt und ausgerechnet....mit TR
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trapez & Simpsonregel
Zitat:
f(2)=5,70706


Aber das ist nicht der richtige Funktionswert... verwirrt Schau dir mal den Plot an.
CN123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trapez & Simpsonregel
Ja kommt mir auch komisch vor habe auch eine Zeichnung erstellt...aber wenn ich die rechnung in meinen TR eingebe spuckt er mir diese Zahl aus:

e^4=54,598...
sin(6)=0,1045..

zusammen-> e^4*sin(6)=5,70706
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trapez & Simpsonregel
Ich wette dein TR steht auf DEG anstatt auf RAD.
CN123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trapez & Simpsonregel
Ach scheisse... jetzt kommt -15,255569 raus
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trapez & Simpsonregel
eben. Augenzwinkern
CN123 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trapez & Simpsonregel
für f(x):

->Trapez=-15,255569
->Simpson=-3,6949

für g(x):
->Trapez:0,75
->Simpson: 0,7833

-> reeler Wert - (Trapez) f(x) = 0,81129
-> reeler Wert - (Simpson) f(x) = arctan 1 - 2,417971067=-1,63257

-> reeler Wert - (Trapez) g(x) = -15,194
-> reeler Wert - (Simpson) g(x) = arctan 1 - 0,783333 =2,0648E-3

stimmt das soweit???
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Trapez & Simpsonregel
code:
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
Simpsonregel, n=2
----------------
f(a)= exp(2*0)*sin(3*0)
f((a+b)/2)= exp(2*1)*sin(3*1)
f(b)= exp(2*2)*sin(3*2)
 
IS=(b-a)/6 * (f(a)+ 4*f((a+b)/2) + f(b))
  =([2]-[0])/6 * ([0] + 4*[1.04274] + [-15.2556]) 
  =-3.69486 


Funktion g

code:
1:
2:
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4:
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7:
8:
9:
10:
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13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
Trapezregel, n=1
----------------
f(a)= 2/(0^2+4)
f(b)= 2/(2^2+4)
 
IT=(b-a)/2 * (f(a)+f(b))
  =([2]-[0])/2 * ([0.5]+[0.25]) 
  =0.75 
 
Simpsonregel, n=2
----------------
f(a)= 2/(0^2+4)
f((a+b)/2)= 2/(1^2+4)
f(b)= 2/(2^2+4)
 
IS=(b-a)/6 * (f(a)+ 4*f((a+b)/2) + f(b))
  =([2]-[0])/6 * ([0.5] + 4*[0.4] + [0.25]) 
  =0.783333 


Reale Werte

code:
1:
2:
-14.214
1/4*Pi=0.78540


Zitat:

Die Werte für den tatsächlichen Fehler sehen etwas komisch (finde ich) aus:


Was meinst du damit?
CN123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja mit den alten (falschen ) werten kamen für die Lösungen der Fehlerberechnungen komische Zahlen raus, aber nun sehen sie ganz "gut" aus.

Hab nochmal nachgerechnet kommt nun das raus:

für f(x):

->Trapez=-15,255569
->Simpson=-3,6949

für g(x):
->Trapez:0,75
->Simpson: 0,7833

-> reeler Wert - (Trapez) f(x) = 0,81129
-> reeler Wert - (Simpson) f(x) = arctan 1 - (-3,6949) =4,488

-> reeler Wert - (Trapez) g(x) = -15,194
-> reeler Wert - (Simpson) g(x) = arctan 1 - 0,783333 =2,0648E-3
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Warum taucht bei dir bei f und g jeweils der arctan(1) auf? verwirrt

Zur Interpretation der Aufgabe solltest du auch mal versuchen einzuschätzen, warum die Formel mit der höheren Ordnung (Simpson) bei f ein schlechteres Ergebnis liefert als die Trapezregel.
CN123 Auf diesen Beitrag antworten »

das arctan kommt von der Stammfunktion bei g(x) wo ich den waren Wert ausgerechnet habe...stammfunktion lautet arctan(x/2) und über die Grenzen 0 und 2 kommt somit arctan 1 als ergebniss raus.

Aber ich sehe gerade das ich die Funk f(x) und g(x) ein bischen vertauscht habe durch das änderen der ganzen Ergebnisse....hmm muss nun so richtig sein....

-> reeler Wert - (Trapez) f(x) = 0,81129
-> reeler Wert - (Simpson) f(x) = 10,7451

-> reeler Wert - (Trapez) g(x) = 0,03539
-> reeler Wert - (Simpson) g(x)=2,0648E-3
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