Eigenschaften der Poissonverteilung

15.07.2011, 15:44

Gast124

Eigenschaften der Poissonverteilung

Hallo!

Es seien $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ iid verteilte Poisson ZVn mit Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_n = \sum_{k=1}^n X_k \end{eqnarray*}$ .
Gilt dann dass:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} P(| \frac{S_n}{n \lambda} - 1| < \epsilon) =1 \end{eqnarray*}$ ?
Dabei verstehe ich leider schon nicht ganz wie das n vom epsilon abhängt. Ist das so gedacht, dass "für alle epsilon >0 existiert n $\begin{eqnarray*} \in N \end{eqnarray*}$ oder anders? Intuitiv finde ich die Aussage falsch.

Gilt außerdem dass:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(\sup_{m \geq n} | \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n (X_k - \lambda) | \geq \epsilon) = 0 \end{eqnarray*}$ ?

Wo leitet man das her?
Danke!

15.07.2011, 18:04

René Gruber

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RE: Eigenschaften der Poissonverteilung

Zitat:

Original von Gast124
Gilt dann dass:
$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} P(| \frac{S_n}{n \lambda} - 1| < \epsilon) =1 \end{eqnarray*}$ ?

Ich kann mir nicht vorstellen, wie man auf so eine Aussage kommen soll. Stand da ganz sicher nicht noch ein Grenzwert davor, so wie bei deiner zweiten Aufgabe, also

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} P\left( \left| \frac{S_n}{n \lambda} - 1 \right| < \epsilon\right) =1 \end{eqnarray*}$ ?

Das wäre dann nämlich richtig.

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