1/x mit beliebigem konvergenzradius

15.07.2011, 18:18	Oulik	Auf diesen Beitrag antworten »
1/x mit beliebigem konvergenzradius Meine Frage: Kurz zu mir: Ich studiere eine Ingenieurswissenschaft im 2 ten semester. In Mathe sind wir gerade an den Potenzreihen, dazu haben wir zZ eine Knobelaufgabe: Wie kann der Ausdruck 1/x geschrieben werden damit die zugehörige Potenzreihe folgende Bedingungen erfüllt: -Die Reihe soll im Konvergenzintervall mit 1/x übereinstimmen. -Der Konvergenzradius soll beliebig groß oder klein gewählt werden können. Meine Ideen: Ich dachte mir erst mal, den Ausdruck auf die harmonische Reihe zu formen, dann konvergiert das aber nur für x<1. Übers Taylorpolynom kam ich auch auf die harmonische Reihe, also wieder negativ. Vielleicht denke ich auch einfach nur zu kompliziert
15.07.2011, 18:46	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hast Du Dir für das Taylorpolynom überlegt? Wenn Du die harmonische Reihe herausbekommst, kann eigentlich etwas nicht stimmen, da das kein Polynom darstellt.
15.07.2011, 19:59	Oulik	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, ich natürlich meine die geometrische mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{(1-x)^{n}} \end{eqnarray}$ bzw dann $\begin{eqnarray} \frac{1}{q^{n}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p=x-1 \end{eqnarray}$ Die konvergiert ja nur für $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ und damit nicht für beliebige x
16.07.2011, 01:19	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Und Du glaubst, das ist ein Polynom ? Noch einmal die Frage: Wie bist Du vorgegagen, um die Taylorreihe zu bestimmen? Das was Du da stehen hast hat nichts mit Taylor zu tun.
16.07.2011, 09:01	Oulik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab einfach mal um den EP 1 gemacht. $\begin{eqnarray} f(x)=f(x_o)+\frac{(f'x_0)}{1!}(x-x_0)^1 +\frac{(f''x_0)}{2!}(x-x_0)^2....<br /> \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} <br /> f(x)=\frac{1}{x}<br /> f'(x)=-1\frac{1}{x^2}<br /> f''(x)= 12\frac{1}{x^3}<br /> f'''(x)=-123\frac{1}{x^4}<br /> \end{eqnarray}$ Einsetzen in obige Formel liefert: $\begin{eqnarray} <br /> f(x)=f(1)+\frac{(f'(1))}{1!}(x-1)^1 +\frac{(f''(1))}{2!}(x-1)^2......<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> <br /> ->1-\frac{1}{1!}(x-1)^1+\frac{2}{2!}(x-1)^2-\frac{6}{3!}(x-1)^3......<br /> \end{eqnarray}$ daraus folgt die Lösung: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> 1-(x-1)^1+(x-1)^2-(x-1)^3.......<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Bei EP=2 folgt $\begin{eqnarray} f(2)=\frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x-2) + \frac{1}{8}(x-2)^2 -\frac{1}{16}(x-2)^3 +\frac{1}{32}(x-2)^4 \end{eqnarray}$ wenn ich jetzt ein bisschen mitdenke, merke ich selber das an meiner aussage iwas nicht ganz richtig ist. Nicht die geometreische aber es steht eine Potenzreihe da mit $\begin{eqnarray} -\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{2^{n} } (x-2)^{n-1} \end{eqnarray*}$
16.07.2011, 14:56	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Darstellung stimmt so nicht. Richtig wäre $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{1}{2^{n+1} } (x-2)^{n} \end{eqnarray*}$ Überlege Dir nun, wann diese Reihe konvergiert und gegen was. Versuch dann die gleiche Rechnung für einen anderen Entwicklungspunkt durchzuführen und vergleiche die Konvergenzradien.
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18.07.2011, 09:56	Oulik	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub ich habs. Wenn ich die verschiedenen Taylorpolynome benutze, kommt immer das richtige raus. Bei 2, bleibt dann 1/2 übrig, was mit 1/x übereinstimmt. Den Konvergenzradius kann man ebenfalls beliebig wählen, je nach benutztem Grad des Taylorpolynoms. Jetzt muss nur noch der Dozent das ganze für rictig erklären, dann bin ich zufrieden. Danke nochmal für die Hilfe

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