Dichtefunktion, Verteilfunktion, Erwartungswert, Wahrscheinlichkeit

15.07.2011, 18:21

eddiHard

Dichtefunktion, Verteilfunktion, Erwartungswert, Wahrscheinlichkeit

Hi Leute, ich bräuchte mal eure Meinung zu folgenden Aufgaben. Danke fürs Anschauen !

1

code:

1:
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      / 0       für x<0 oder x >= 2
f(x)=|  Ax      für 0 <= x < 1
      \ A(2-x)  für 1<= x < 2

a)Bestimmten Sie A so, dass f Dichtefunktion einer stetigen Zufallsgröße X ist. Verteilungsfunktion
b)Erwartungswert von X

-------------------------------------------------------
a)
$\begin{eqnarray*} 1= \int_{-unendl}^{unendl} f(x) dx = \int_{0}^{1} Ax dx + \int_{1}^{2} Ax-Ax dx \end{eqnarray*}$
-> A=1

Verteilfunktion

code:
1: 2: 3: 4: 5:	/ 0 x <0 F(x) = \| x²/2 0<=x<1 \| 2x-x²/2-1,5 1<=x<2 \ 1 x>=2

b) $\begin{eqnarray*} EX=\int_{-unendl}^{unendl} x*f(x) dx = \int_{0}^{1}x^2dx + \int_{1}^{2} 2x-x^2 dx = 1 \end{eqnarray*}$
_____________________________________________________
2
Anlage besteht aus Modul S und W, deren Lebensdauern exponentialverteilt und unabhängig sind. Mittlere Lebensdauer S = 20 Jahre, W = 50 Jahre. Anlage nicht mehr funktionsfähig, wenn 1 Teil ausfällt.

a) Wahrscheinlichkeit, dass eine Anlage nicht länger als 10 Jahre durchhält
b) mittlere Lebensdauer der Anlage
c) 10 Anlagen versorgen eine Stadt. Es müssen mind 8 der 10 ünabhangig voneinander arbeitenden Maschinen laufen. Berechne die WSK, das innerhalt der ersten 10 Jahre die Versorgung gewährleistet ist (mit Ergebnis von a))
d)Es gibt 1000 Anlagen. Bestimmten der WSK, dass nach 10 Jahren mind 50% der Anlagen funktionieren
-------------------------------------------------------

a)
P(X<=10) = P_S(X<=10) + P_S(X<=10)
= (1-e^(-1/20*10)) + (1-e^(-1/50*10)) = 0,4253

b)
EX = (EX_S + EX_W)/2 = 35 Jahre

c)Bino: P(X<=2) = 0,122
n = 10, k = 2, p = 0,4253

d) ??

______________________________________________________
3
Kugelschreiber:
10% haben Fehler bei Feder, 25% Fehler bei Mine, 7% haben beide Fehler

a) Zeigen, dass die Fehler nicht unabhängig sind
b)WSK, dass Mine schreibt, falls Feder funktioniert
c)WSK, dass genau einer der beiden Fehler auftritt
d)WSK, dass mind einer der Fehler auftritt
-------------------------------------------------------
a)
A: Fehler an Feder: P(A) = 0,1
B: Fehler an Mine: P(B) = 0,25
P(A^B) = 0,07

wenn unabhängig: P(A^B)=P(A)*P(B) => Widerspruch

b)
$\begin{eqnarray*} P(~\overline{A}|~\overline{B}) = P(~\overline{A}\cap~\overline{B})/P(~\overline{A}) = 0,8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(~\overline{A}) = 1-P(A)= 0,9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(~\overline{A}\cap~\overline{B}) = 1-P(A) - P(B) + P(A\cap B) = 0,72 \end{eqnarray*}$

d)
$\begin{eqnarray*} P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cup B) = 0,28 \end{eqnarray*}$

c)
$\begin{eqnarray*} P(A\cap~\overline{B}\cup~\overline{A}\cap B) = 2*P(A\cap B) - P(A) - P(B) = 0,21 \end{eqnarray*}$

15.07.2011, 19:07

eddiHard

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noch kurz etwas nachgeschoben:

4
D = Dauer der Schwangerschaft, K = Körpergröße, G = Gewicht
D,K,G sind normalverteilt

a)Schwangerschaft dauert im Mittel 280 Tage, Standardabweichung von 10 Tagen. Berechnen: P(279,5 <= D <= 280,5)
$\begin{eqnarray*} O(\frac{(280,5-280)}{10}) - O(\frac{(279,5-280)}{10}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O(0,05) - O(-0,05) = 2*O(0,05) -1 = 0,0398 \end{eqnarray*}$

b)Mittlere Gewicht = 3500 Gramm. P(2800 <= X <= 4200) = 0,9. Gesucht: Varianz

$\begin{eqnarray*} O(\frac{(4200-3500)}{S}) - O(\frac{(2800-3500)}{S})=0,9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} O(\frac{(700)}{S}) - O(\frac{(700)}{S})=0,9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2*O(\frac{(700)}{S}) -1=0,9 \end{eqnarray*}$
700/S = 1,64
S = 426,8 => Varianz = S² = 182158,24 ??? Oo

c)

code:
1: 2: 3:	Größe [cm] 48 49 50 51 52 54 55 Häufigkeit 3 2 1 3 3 1 3

c1)Schätzungen für Erwartungswert und Varianz
EX = (48*3+49*2+50*1+51*3+52*3+54*1+55*2) / 15 = 51
D²X = E(X-EX)² = 16/3

c2)Bestimmen Sie zum Konvidenznievieau von 95% eine obere Grenze für die Varianz der Körpergröße
??

c3)Aussage: Neugeborene sind im Mittel 50cm groß (Irrtumswahrscheinlichkeit = 5%)
??

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