Formel für Intervallschachtelung bei einer Halbkugel

15.07.2011, 18:39

https://mathe

Formel für Intervallschachtelung bei einer Halbkugel

Edit (mY+): Bitte auf präzise Titelwahl achten! Überschrift modifiziert.

Meine Frage:
Hi,

es handelt sich hier um die Intervallschachtelung einer Halbkugel, dies sollte allerdings weniger von Bedeutung sein. Ich versuche lediglich seit geraumer Zeit die untenangehängte Formel herzuleiten...

Meine Ideen:
Ansätze genug, allerdings haben sie nichts gebracht xD

edit: unteren Term natürlich noch =Va setzen ^^

16.07.2011, 06:31

Leopold

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Offenbar wird hier die Halbkugelhöhe $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Teile zerlegt und die Halbkugel innen mit Zylinderscheiben der Höhe $\begin{eqnarray*} \frac{r}{n} \end{eqnarray*}$ ausgefüllt. Wenn $\begin{eqnarray*} \varrho_k \end{eqnarray*}$ der Radius der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Zylinderscheibe vom Grundkreis der Halbkugel aus ist, dann gilt nach Pythagoras

$\begin{eqnarray*} \varrho_k^{\, 2} = r^2 \left( 1 - \frac{k^2}{n^2} \right) \end{eqnarray*}$

Das Volumen des $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Zylinders ist daher

$\begin{eqnarray*} V_k = \pi \cdot \varrho_k^{\, 2} \cdot \frac{r}{n} = \frac{\pi r^3}{n} \left( 1 - \frac{k^2}{n^2} \right) \end{eqnarray*}$

Irgendwo scheint dir da ein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ verloren gegangen zu sein. Also Gesamtvolumen der Zylinderscheiben habe ich

$\begin{eqnarray*} V_1 + V_2 + \ldots + V_{n-1} = \pi r^3 \left( 1 - \frac{1^2 + 2^2 + \ldots + n^2}{n^3} \right) \end{eqnarray*}$

erhalten.

16.07.2011, 10:24

https://mathe

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Zitat:

Original von Leopold
Offenbar wird hier die Halbkugelhöhe $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Teile zerlegt und die Halbkugel innen mit Zylinderscheiben der Höhe $\begin{eqnarray*} \frac{r}{n} \end{eqnarray*}$ ausgefüllt. Wenn $\begin{eqnarray*} \varrho_k \end{eqnarray*}$ der Radius der $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Zylinderscheibe vom Grundkreis der Halbkugel aus ist, dann gilt nach Pythagoras

$\begin{eqnarray*} \varrho_k^{\, 2} = r^2 \left( 1 - \frac{k^2}{n^2} \right) \end{eqnarray*}$

Das Volumen des $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -ten Zylinders ist daher

$\begin{eqnarray*} V_k = \pi \cdot \varrho_k^{\, 2} \cdot \frac{r}{n} = \frac{\pi r^3}{n} \left( 1 - \frac{k^2}{n^2} \right) \end{eqnarray*}$

Irgendwo scheint dir da ein $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ verloren gegangen zu sein. Also Gesamtvolumen der Zylinderscheiben habe ich

$\begin{eqnarray*} V_1 + V_2 + \ldots + V_{n-1} = \pi r^3 \left( 1 - \frac{1^2 + 2^2 + \ldots + n^2}{n^3} \right) \end{eqnarray*}$

erhalten.

den letzten Schritt kann ich nicht nachvollziehen.

16.07.2011, 11:01

https://mathe

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auf diesen Ausdruck komme ich

16.07.2011, 11:13

DP1996

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Ich hoffe, Leopold wirdmich nicht dafür köpfen, dass ich an seiner Stelle antworte...

Die ganzen inneren Klammern kannst du einfach weglassen, die beeinflussen das ERgebnis nicht. Dannn sortierst du um und fasst ale Brüche 1/n zusammen. Es sind genau n Brüche, die Summe ist also n/n=1. Die anderen Brüche lassen sich ebenfalls zusammenfassen (gemeinsamer Nenner n³), die Zähler werden auf einen Bruchstrich geschrieben, und das Minus vorangestellt...

Was ich allerdings nicht ganz verstehe, ist woher dann noch das +n² kommt und nicht bei (n-1)² schon schluss ist verwirrt

16.07.2011, 15:07

https://mathe

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vielen dank euch beiden, hab es inzwischen aber schon selbst geschafft xD

kann mich DP anschließen, bei mir endet es auch schon bei (n-1)², kein n², nehme aber an, dass dies nur ein Tippfehler gewesen ist.

16.07.2011, 17:18

https://mathe

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16.07.2011, 17:32

Leopold

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Nein, das endet bei $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ . Es sind ja $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Summanden. Und mit der $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ in diesem Ausdruck hat es zu tun.

16.07.2011, 17:50

https://mathe

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es sind n Zylinder in der Halbkugel, das Volumen aller dieser Zylinder wird addiert. Somit sind es n Summanden, nicht n-1.

17.07.2011, 05:38

Leopold

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Das stimmt leider nicht. Der einbeschriebene Treppenkörper besteht aus $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ Zylindern mit dem Gesamtvolumen

$\begin{eqnarray*} V_1 + V_2 + \ldots + V_{n-1} = \pi r^3 \cdot \left( 1 - \frac{1^2 + 2^2 + \ldots + n^2}{n^3} \right) \end{eqnarray*}$

Der umbeschriebene Treppenkörper dagegen besteht aus $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Zylindern mit dem Gesamtvolumen

$\begin{eqnarray*} V_0 + V_1 + \ldots + V_{n-1} = \pi r^3 \cdot \left( 1 - \frac{1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2}{n^3} \right) \end{eqnarray*}$

Die Differenz beider Treppenkörper ist $\begin{eqnarray*} V_0 = \pi r^2 \cdot \frac{r}{n} = \frac{\pi r^3}{n} \end{eqnarray*}$ . Das ist der Zylinder mit dem Äquatorkreis als Grundfläche.

17.07.2011, 09:20

https://mathe

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in dieser Aufgabe geht es um den umbeschriebenen Treppenkörper Augenzwinkern