Trivialkriterium Harmonische Reihe |
| 16.07.2011, 12:00 | Triah21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Trivialkriterium Harmonische Reihe
Kurze knackige Frage: Das Trivialkriterium kann nur sagen, ob eine Reihe divergiert. Korrekt? Ich habe hier stehn: Summe n=1 bis unendlich a_n konvergiert, falls lim a_n = 0. Dies trifft aber ja z.B. bei der Harmonischen Reihe nicht zu. Der lim a_n ist 0. Aber die Reihe konvergiert bekanntlich nicht. Daher meine Vermutung: Das Trivialkriterium kann nichts über Konvergenz sagen, kann aber entscheiden, ob die Reihe theoretisch konvergieren könnte (eben wenn es eine Nullfolge ist). Quasi nur ausschließen, ob sie konvergieren könnte, oder eben nicht. Wer hilft mir auf die Sprünge? Grüße |
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| 16.07.2011, 12:05 | Jeremy124 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Trivialkriterium Harmonische Reihe Leider war die Frage nicht knackig gestellt, was zeigt, dass etwas Unverständnis besteht. Knackig formuliert sieht es so aus konvergiert Die Umkehrung gilt im allgemeinen NICHT! Du hast hier notwendig und hinreichend völlig durcheinander gebracht. Schau dir am besten obige Formel nochmal an 
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| 16.07.2011, 12:05 | schultz | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
kenn das kriterium zwar nicht, aber du hast recht mit deinen Überlegungen. Wenn eine Reihe konvergiert, so ist a_n eine Nullfolge. Wenn a_n also keine Nullfolge ist, weißt du sicher dass die Reihe divergiert. Wenn es jedoch eine Nullfolge ist, kannst du noch nicht sagen ob sie konvergiert oder nicht. |
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| 16.07.2011, 12:05 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist falsch. Was gilt ist: Aus Konvergenz der Reihe folgt die Konvergenz der zugehörigen Folge gegen Null.
Ja da hast du Recht. Eine Bedingung mit dieser Eigenschaft nennt man notwendig. (Ein anderes Beispiel wären Extremalstellen differenzierbarer Funktionen, das Verschwinden der Ableitung ist notwendig aber eben nicht hinreichend) |
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| 16.07.2011, 12:09 | Triah21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
okay, ich hab in meinem Heftchen auch summe... an konvergiert => lim an = 0 stehen, hab mich nur bei der Ausdrucksweise vertan danke euch
dann ist mir das jetzt klar.Sollte man also, wenn man eine Reihe bekommt, die man zu prüfen hat erst schauen ob die Folge überhaupt eine Nullfolge ist? Und erst danach dann die anderen Kriterien anwenden? Grüße |
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| 16.07.2011, 12:11 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist fast immer eine gute Idee
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| 16.07.2011, 12:14 | Triah21 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
wenn hier schon so aktiv mir geholfen wird, direkt die nächste Frage hinterher: Ich habe tausende Kriterien um zwischen Konvergenz und Divergenz zu entscheiden. Wann benutze ich welches? Gibt es da Tricks? Ich habe bisher selbst mit dem Quotientenkriterium bei Fakultäten gut rechnen können, da diese sich immer so schön rauskürzten. Wurzelkriterium generell bei Potenzen Gibt es noch andere Tipps? Grüße und danke für die Antworten! |
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| 16.07.2011, 12:59 | Felix | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Allgemeinen kann man da keine guten Tipps geben. Man muss das halt üben. Vieleicht eine meiner Erfahrungen. Das mMn wichtigste Kriterium ist das Majorantenkriterium. Damit kann man, insbesondere wenn man schon etwas Übung hat und das Konvergenzverhalten einiger Klassen von Reihen kennt, sehr viel machen. Nebenbei bemerkt sind ja auch das Wurzel - und Quotientenkriterium Folgerungen aus dem Majorantenkriterium. |
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