Wachstumsprozess Abituraufgabe

Neue Frage »

16.07.2011, 10:11	G8 Opfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wachstumsprozess Abituraufgabe Meine Frage: Hallo Leute, diese Abituraufgabe bereitet mir Bauchschmerzen: "Bei einem Wachstumsprozess ist der Momentanbestand $\begin{eqnarray} n_{k} \left(t\right) \end{eqnarray}$ zum Zeitpunkt t in Sekunden gegeben durch $\begin{eqnarray} n_{k} \left(t\right)= k\cdot e - k\cdot e^{-t} \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} k\geq0 , t\geq0 \end{eqnarray}$ . Für welche Werte von k ist der Anfangsbestand $\begin{eqnarray} n_{k}(0) \end{eqnarray}$ größer als $\begin{eqnarray} 10^{6} \end{eqnarray}$ ?" Die Aufgabe geht noch weiter, doch dafür benötige ich die Antwort dieser Frage. Wäre nett, wenn ihr mir helfen könntet auf die Lösung zu kommen. Meine Ideen: Ich habe mir natürlich etwas dazu gedacht, und zwar habe ich den Term zum Zeitpunkt 0 aufgestellt, also: $\begin{eqnarray} n_{k}(0) = k\cdot e - k\cdot e^{0} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} e^{0} \end{eqnarray}$ = 1 ist, habe ich die Gleichung $\begin{eqnarray} k\cdot e - k = 10^{6} \end{eqnarray}$ gesetzt. Ich muss nach k auflösen, doch da ich zwei k habe, weiß ich nicht, wie ich richtig auflösen soll. Vielen Dank für eure Mithilfe !
16.07.2011, 10:17	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Klammere k aus!
16.07.2011, 10:23	G8 Opfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ohhh, wie peinlich , danke. Also ausgeklammert habe ich $\begin{eqnarray} k( e - 1) = 10^{6} \end{eqnarray}$ . Ich stehe auf dem Schlauch, also was soll ich jetzt machen? Ich könnte mir denken, dass e - 1 = 1,71 ist, also 1,71k = 10^6. Soll ich jetzt durch 1,71 teilen, oder geht das in eine völlig falsche Richtung?
16.07.2011, 10:32	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das stimmt absolut, du willst ja wissen, wie viel k mindestens sein muss (mir wäre es deshalb zwar lieber, du schriebest das als Ungleichung, doch egal...) Außerdem hätte ich noch 2 Nachkommastellen mehr genommen, oder einfach mit e-1 als exakter Zahl weitergerechnet, da in den weiteren Aufgaben, die du erwähnt hast, eventuell noch mal gerundet werden muss. Dadurch können ärgerliche Ungenauigkeiten entstehen.
16.07.2011, 10:44	G8 Opfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich, dass meine Überlegungen stimmen. So ausgerechnet habe ich für k 582072,18 herausbekommen. Eine etwas große Zahl, oder? Also die Aufgabe geht weiter: "In der Zeit von $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} t=t_{1} \end{eqnarray}$ soll $\begin{eqnarray} n_{k}(t) \end{eqnarray}$ um die Hälfte des Anfangsbestandes anwachsen. Zeige, dass $\begin{eqnarray} t_{1} \end{eqnarray}$ nicht von k abhängt. Gib $\begin{eqnarray} t_{1} \end{eqnarray}$ auf zwei Dezimalen gerundet an." Das ist die vollständige Aufgabe, doch irgendwie komme ich noch immer nicht klar damit. Ist mit Anfangsbestand k oder 10^6 gemeint?
16.07.2011, 11:04	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zahl stimmt von der Größenordnung her! (10^6=1 000 000) Mit Anfangsbestand ist weder das eine noch das andere gemeint, wie aus deinem ersten Beitrag hier hervorgeht. entschuldige die Wartezeit, aber ich hab zu Mittag gegessen...
Anzeige

16.07.2011, 11:08	G8 Opfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll ich denn nun weiter vorgehen? Bitte hilf mir
16.07.2011, 11:19	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Dein Anfangsbestand ist der Bestand bei t=0 in $\begin{eqnarray} n_k(t) \end{eqnarray}$ oder kurz $\begin{eqnarray} n_k(0) \end{eqnarray}$ . 2. $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ sei der Zeitpunkt, an dem der Bestand von Anfangsbestand aus um die Hälfte des Anfangsbestandes gewachsen ist. Und was heißt das als Gleichung geschreiben für die beiden Bestände $\begin{eqnarray} n_k(0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_k(t_1) \end{eqnarray}$ ?
16.07.2011, 11:27	G8 Opfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke als Gleichung ausgedrückt wäre das: $\begin{eqnarray} n_{k} (0)= k\cdot e - k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_{k} (t_{1} )= k\cdot e - k\cdot e^{-t_{1} } \end{eqnarray}$ . Oder? Und jetzt? Ich verstehe den Zusammenhang nicht ganz. Wie soll gezeigt werden, dass t1 nicht von k abhängig ist?
16.07.2011, 11:32	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Worauf ich hinaus wollte ist das: $\begin{eqnarray} n_k(t_1)=1,5n_k(0) \end{eqnarray}$ (Weshalb gilt das?) Jetzt kannst du die Funktionsgleichungen einsetzen.
16.07.2011, 11:45	G8 Opfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz ehrlich, ich habe keine Ahnung wie du darauf kommst. Du hast $\begin{eqnarray} n_{k} (t_{1}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n_{k} (0) \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit voneinander gebracht. Warum? Warum ist $\begin{eqnarray} n_{k} (0) \end{eqnarray}$ das 1,5 fache von $\begin{eqnarray} n_{k} (t_{1} ) \end{eqnarray}$ ? Woher kommen die 1,5? Noch mal ganz langsam bitte
16.07.2011, 11:54	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
In dem Zeitraum von 0 bis t1 ist der Anfangsbestand um die Hälfte gewachsen. D.h. der Anfangsbestand hat die Hälfte von sich selbst noch dazu gekriegt: $\begin{eqnarray} n_k(0)+0,5n_k(0) \end{eqnarray}$ Und dies wiederum ist genau nach dem besagten Zeitraum geschehen, also ist der Bestand von $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ , welcher mit $\begin{eqnarray} n_k(t_1) \end{eqnarray}$ bezeichnet wird, genau gleich dieser Summe, und es ist $\begin{eqnarray} n_k(t_1)=n_k(0)+0,5n_k(0) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n_k(t_1)=1,5n_k(0) \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht, ob das ausführlich genug war, wenn es die nicht klar ist, frag noch mal nach dem, was du nicht verstehst.
16.07.2011, 11:59	G8 Opfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, das war ausführlich genug und selbst für mich nachvollziehbar. Wie soll aber gezeigt werden, dass t1 nicht von k abhängt?
16.07.2011, 12:02	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Indem du die Bestände durch die Terme ersetzt, die du in deinem drittletzten Beitrag genannt hast. Wenn du in der Gleichung dann irgendwie k rausschmeißen kannst, bist du fertig.
16.07.2011, 12:23	G8 Opfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eingesetzt wäre es dann: $\begin{eqnarray} n_{k} (t_{1} )= 1,5 \cdot k \cdot e -k \end{eqnarray}$ oder alles eingesetzt: $\begin{eqnarray} k\cdot e - k\cdot e^{-t_{1} } = 1,5 \cdot k \cdot e -k \end{eqnarray}$ . Welches davon ist richtig? Und wie könnte ich k "rausschmeißen"? Vielen Dank für deine Geduld mit mir !
16.07.2011, 12:25	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast Richtig: der ganze Anfangsbestand wird mit 1,5 Multipliziert, rechts muss also $\begin{eqnarray} 1,5(k\cdot e-k) \end{eqnarray}$ stehen. Tipp: Versuch's mal mit Ausklammern auf beiden Seiten!
16.07.2011, 12:46	G8 Opfer	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgeklammert wäre das also: $\begin{eqnarray} k(e - e^{-t_{1} }) = 1,5 k ( e -1) \end{eqnarray}$ . Richtig?

Neue Frage »

Antworten »

Wachstumsprozess Abituraufgabe

Verwandte Themen