Verständnisproblem Mengenlehre

16.07.2011, 19:04

Strulle

Verständnisproblem Mengenlehre

Meine Frage:
Hallo, ich habe irgenwie ein Problem bei der unten aufgeführten Aufgabe. Nicht, dass ich sie lösen könnte, auch aus der Beispiellösung werde ich nicht schlau!?

1. Eine Angestellte fährt mit öffentlichen Verkehrsmitteln zur Arbeit. Sie muss einmal von
einem Bus in einen anderen umsteigen. Aufgrund langjähriger Erfahrungen weiß sie:
- mit Wahrscheinlichkeit 0.9 muss sie beim ersten Bus nicht warten,
- die Chance, beim zweiten Bus nicht warten zu müssen, ist 0.75,
- in nur 7 von 100 Fahrten muss sie bei beiden Bussen warten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass sie
(a) beim zweiten nicht warten muss, wenn sie beim ersten Bus nicht warten musste?
(b) genau an einer Haltestelle warten muss?
(c) an mindestens einer Haltestelle warten muss?

Meine Ideen:
Also mein Ansatz:
A= "nicht warten beim ersten Bus"
B= "nicht warten beim 2. Bus"
Also ist P(A)=0,9 , P(B)=0,75 und $\begin{eqnarray*} P(\overline A \cap \overline B ) = 0,07 \end{eqnarray*}$

nun zu a)
$\begin{eqnarray*} P(\overline A \cap \overline B ) = 1- P(\overline {\overline A \cap \overline B} ) = P( A \cup B ) \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} P( A \cup B ) = 0.93 \end{eqnarray*}$

... und jetzt weiß ich nicht weiter.

die Beispiellösung gibt mir nun
$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A)+P(B)- P( A \cup B ) = 0,72 \end{eqnarray*}$
Und das kapiere ich nicht.
Diese Formel (rechte Seite) ist ja eigentlich die Berechnung von vereinbaren Ereignissen bei $\begin{eqnarray*} P( A \cup B ) \end{eqnarray*}$ [natürlich ist dann auch bei der rechten Seite das Mengezeichen umgedreht.]
Aber kann man das einfach so machen? ich versteh die logik dahinter einfach nicht!
zur Vollständigkeit noch der Rest der Lösung (was für mich dann wieder verständlich ist):
$\begin{eqnarray*} P(B|A) = \frac {P(A \cap B)}{P(A)} = \frac {0,72}{0,9} = 0,8 \end{eqnarray*}$
Kann mir jemand helfen meinen Knoten aus dem Hirn zu bekommen?
Vielen Dank im Voraus.

16.07.2011, 19:13

Math1986

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RE: Verständnisproblem Mengenlehre

Zitat:

Original von Strulle

Meine Ideen:
Also mein Ansatz:
A= "nicht warten beim ersten Bus"
B= "nicht warten beim 2. Bus"
Also ist P(A)=0,9 , P(B)=0,75 und $\begin{eqnarray*} P(\overline A \cap \overline B ) = 0,07 \end{eqnarray*}$

Hier ist schon
$\begin{eqnarray*} P\left(\overline A \cap \overline B\right) =P(\overline A)\cdot P(\overline B )= 0,1\cdot 0,25=0,025 \end{eqnarray*}$
Da hast du dich irgendwo verrechnet.

Zitat:

Original von Strulle
nun zu a)
$\begin{eqnarray*} P(\overline A \cap \overline B ) = 1- P(\overline {\overline A \cap \overline B} ) = P( A \cup B ) \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} P( A \cup B ) = 0.93 \end{eqnarray*}$

Hier ist auch:
$\begin{eqnarray*} P(\overline A \cap \overline B ) = 1- P(\overline {\overline A \cap \overline B} ) = 1-P( A \cup B ) \end{eqnarray*}$
Das Endergebnis
$\begin{eqnarray*} P( A \cup B ) = 0.93 \end{eqnarray*}$
ist aber richtig!

Zitat:

Original von Strulle
... und jetzt weiß ich nicht weiter.

die Beispiellösung gibt mir nun
$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A)+P(B)- P( A \cup B ) = 0,72 \end{eqnarray*}$
Und das kapiere ich nicht.
Diese Formel (rechte Seite) ist ja eigentlich die Berechnung von vereinbaren Ereignissen bei $\begin{eqnarray*} P( A \cup B ) \end{eqnarray*}$ [natürlich ist dann auch bei der rechten Seite das Mengezeichen umgedreht.]
Aber kann man das einfach so machen? ich versteh die logik dahinter einfach nicht!
... die Lösung geht dann noch weiter, am Ende soll 0,8 raus kommen.
Kann mir jemand helfen meinen Knoten aus dem Hirn zu bekommen?
Vielen Dank im Voraus.

Die Logik nennt sich "Siebformel":
$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A)+P(B)- P( A \cup B ) = 0,72 \end{eqnarray*}$

16.07.2011, 19:22

Strulle

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Zitat:

Hier ist schon
$\begin{eqnarray*} P\left(\overline A \cap \overline B\right) =P(\overline A)\cdot P(\overline B )= 0,1\cdot 0,25=0,025 \end{eqnarray*}$

Das ist aber in der Aufgage schon gegeben!

Zitat:

- in nur 7 von 100 Fahrten muss sie bei beiden Bussen warten.

also: $\begin{eqnarray*} P(\overline A \cap \overline B ) = 0,07 \end{eqnarray*}$

16.07.2011, 19:27

Strulle

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Zitat:

Original von Strulle

Zitat:

Hier ist schon
$\begin{eqnarray*} P\left(\overline A \cap \overline B\right) =P(\overline A)\cdot P(\overline B )= 0,1\cdot 0,25=0,025 \end{eqnarray*}$

Das ist aber in der Aufgage schon gegeben!

Zitat:

- in nur 7 von 100 Fahrten muss sie bei beiden Bussen warten.

also: $\begin{eqnarray*} P(\overline A \cap \overline B ) = 0,07 \end{eqnarray*}$

... und von einer Siebformel hab ich noch nie was gehört?! was steckt denn da dahinter?

16.07.2011, 19:29

Math1986

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Zitat:

Original von Strulle

Zitat:

Hier ist schon
$\begin{eqnarray*} P\left(\overline A \cap \overline B\right) =P(\overline A)\cdot P(\overline B )= 0,1\cdot 0,25=0,025 \end{eqnarray*}$

Das ist aber in der Aufgage schon gegeben!

Zitat:

- in nur 7 von 100 Fahrten muss sie bei beiden Bussen warten.

also: $\begin{eqnarray*} P(\overline A \cap \overline B ) = 0,07 \end{eqnarray*}$

Da hast du recht, das hatte ich nicht gelesen, sorry

16.07.2011, 19:30

Math1986

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Zitat:

Original von Strulle
... und von einer Siebformel hab ich noch nie was gehört?! was steckt denn da dahinter?

Hast du von Wikipedia schon was gehört?
Das Stichwort habe ich dir extra geliefert
Definitionen nachschlagen

16.07.2011, 19:38

Strulle

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Okay Siebformel ist ja logisch. Damit berechnet man $\begin{eqnarray*} P( A \cup B ) \end{eqnarray*}$

Aber für $\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) \end{eqnarray*}$ heißt es per Definition doch:

$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A) * P(A|B) \end{eqnarray*}$
beziehungsweise für unabhängige Ereignisse
$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A) * P(B) \end{eqnarray*}$

16.07.2011, 19:45

Math1986

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Zitat:

Original von Strulle
Okay Siebformel ist ja logisch. Damit berechnet man $\begin{eqnarray*} P( A \cup B ) \end{eqnarray*}$

Aber für $\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) \end{eqnarray*}$ heißt es per Definition doch:

$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A) * P(A|B) \end{eqnarray*}$
beziehungsweise für unabhängige Ereignisse
$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A) * P(B) \end{eqnarray*}$

Das stimmt, ich sehe aber nicht dein Problem:

Es ist doch nach der Siebformel
$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A)+P(B)- P( A \cup B ) = 0,72 \end{eqnarray*}$
wenn du hier die bekannten Werte einsetzt dann kommst du genau auf das Ergebnis

Die Ereignisse sind übrigens nicht unabhängig, da deine letztere Formel nicht gilt.

16.07.2011, 19:58

Strulle

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Aber seit wann kann ich denn $\begin{eqnarray*} \cup und \cap \end{eqnarray*}$ tauschen wie ich lustig bin?
Die Siebformel ist doch die:

$\begin{eqnarray*} P( A \cup B ) = P(A)+P(B)- P( A \cap B ) \end{eqnarray*}$

Daraus werden die durch die durch die Vereinigung zu viel ausgewählten Ereignisse durch $\begin{eqnarray*} - P( A \cap B ) \end{eqnarray*}$
"ausgesiebt".

Wenn ich Allerdings eine Schnittmenge Betrachte (so wie in der Aufgabe) sollte es solche Ereignisse doch nicht geben.
Wenn A = {1,2,3,4] und B = {3,4,5,6}, dann ist

$\begin{eqnarray*} A \cap B = \{3,4\} \end{eqnarray*}$

was will ich denn da noch abziehen?

16.07.2011, 20:02

Math1986

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Zitat:

Original von Strulle
Aber seit wann kann ich denn $\begin{eqnarray*} \cup und \cap \end{eqnarray*}$ tauschen wie ich lustig bin?
Die Siebformel ist doch die:

$\begin{eqnarray*} P( A \cup B ) = P(A)+P(B)- P( A \cap B ) \end{eqnarray*}$

Diese kannst du doch ganz einfach umstellen nach $\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Strulle
Daraus werden die durch die durch die Vereinigung zu viel ausgewählten Ereignisse durch $\begin{eqnarray*} - P( A \cap B ) \end{eqnarray*}$
"ausgesiebt".

Wenn ich Allerdings eine Schnittmenge Betrachte (so wie in der Aufgabe) sollte es solche Ereignisse doch nicht geben.
Wenn A = {1,2,3,4] und B = {3,4,5,6}, dann ist

$\begin{eqnarray*} A \cap B = \{3,4\} \end{eqnarray*}$

was will ich denn da noch abziehen?

Ich verstehe nicht was du meinst

16.07.2011, 20:07

Strulle

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Okay auf die Idee mit dem Umstellen bin ich nicht gekommen.
Das war dann wohl der Knoten im Hirn.
Aber wie weiß ich denn nun, wann ich
das:
$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A) * P(A|B) \end{eqnarray*}$
beziehungsweise für unabhängige Ereignisse
$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A) * P(B) \end{eqnarray*}$

oder das:
$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A)+P(B)- P( A \cup B ) \end{eqnarray*}$
nehmen muss?

irgendwie bin ich jetzt noch verwirrter?!

16.07.2011, 20:15

Math1986

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Zitat:

Original von Strulle
das:
$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A) * P(A|B) \end{eqnarray*}$
beziehungsweise für unabhängige Ereignisse
$\begin{eqnarray*} P( A \cap B ) = P(A) * P(B) \end{eqnarray*}$

Letzteres kannst du nicht verwenden, da die Ereignisse eben nicht unabhängig sind, letzteres ist offenbar falsch, wie man durch nachrechnen überprüft.

Bei der ersten Formel ist der letzte Wert nicht gegeben.

Es bleibt im Prinzip nur noch die Verwendung der Siebformel übrig, anders kommst du nicht weiter.

16.07.2011, 20:18

Strulle

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Okay ich werd da nochmal drüber nachdenken.

Ich danke dir auf jeden Fall, dass du dir die Zeit genommen hast, mich auf den richtigen Weg zu führen und für deine Geduld.

Einen schönen Abend noch.

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