Metrischer Raum, Abstandsfunktion

17.07.2011, 01:28	FrameKill	Auf diesen Beitrag antworten »
Metrischer Raum, Abstandsfunktion Gute Nacht =), ich hätte eine Frage bezüglich Metrischer Räume: Soweit ich jetzt in den Vorlesungen aufgepasst habe, bildet jede Norm einen Metrischen Raum (aber nicht umgekehrt). So also z.B. die Euklidische Norm. Was ist jetzt genau an dem Metrischen Raum (der jetzt diese Euklidische Norm beeinhaltet) ,,anders'' ? Seh ich das richtig dass durch jede Norm der erstellte metrische Raum einfach eine neue Definition der Distanz bekommt? Also verändert die Norm einfach den Distanz-Begriff? Wenn ich die natürliche Norm nehme lautet meine Distanz \|a-b\|. In der euklidischen hingegen Wurzel(a²+b²) ? Bin ich voll auf dem falschen Dampfer? Wozu nutzt man Normen? Ich bin bisher davon ausgegangen dass man gerade in mehrdimensionalen Räumen keinerlei Bezug sonst hätte, wie die Distanzvorschrift auszusehen hätte Grüße Frame
17.07.2011, 10:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Jedes Skalarprodukt induziert eine Norm. 2. Jede Norm induziert eine Metrik. 3. Jede Metrik induziert eine Topologie. Die Umkehrungen gelten jeweils nicht: 1.' Nicht jede Topologie wird von einer Metrik induziert. 2.' Nicht jede Metrik wird von einer Norm induziert. 3.' Nicht jede Norm wird von einem Skalarprodukt induziert. Zu 1. Sei $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ das Skalarprodukt und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ die Norm. Dann setzt man: $\begin{eqnarray} N(x) = \sqrt{\sigma(x,x)} \end{eqnarray}$ Zu 2. Sei $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ die Norm und $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ die Metrik. Dann setzt man: $\begin{eqnarray} d(x,y) = N(y-x) \end{eqnarray}$ Zu 3. Sei $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ die Metrik. Dann setzt man $\begin{eqnarray} U \ \text{offen} \ \ \Leftrightarrow \ \ \left( \ \forall x \in U \ \exists \varepsilon>0: \ d(x,y) < \varepsilon \ \Rightarrow \ y \in U \ \right) \end{eqnarray}$ Zu deinem Beispiel mit der euklidischen Norm. Hat man den Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ mit dem Standardskalarprodukt $\begin{eqnarray} \sigma(x,y) = \sum_{j=1}^n x_j y_j \end{eqnarray}$ (worin die $\begin{eqnarray} x_j,y_j \end{eqnarray}$ die $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ -ten Koordinaten von $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ sind) dann folgt mit 1.: $\begin{eqnarray} N(x) = \sqrt{\sum_{j=1}^n x_j^{\, 2}} \end{eqnarray}$ Diese Norm wird sehr oft mit $\begin{eqnarray} N(x) = \left\| x \right\| \end{eqnarray}$ oder auch mit $\begin{eqnarray} N(x) = \left\\| x \right\\| \end{eqnarray}$ bezeichnet. Anschaulich ist $\begin{eqnarray} N(x) \end{eqnarray}$ die Länge des Vektors $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ oder, was dasselbe ist, sofern man Punkte mit ihren Ortsvektoren identifiziert, der Abstand des Punktes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ vom Ursprung. Und mit 2. folgt: $\begin{eqnarray} d(x,y) = N(y-x) = \sqrt{\sum_{j=1}^n (y_j - x_j)^2} \end{eqnarray}$ Das ist der Abstand der Punkte $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ oder, was dasselbe ist, die Länge des Vektors $\begin{eqnarray} y-x \end{eqnarray}$ , der vom Punkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ zum Punkt $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ zeigt.

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