Cauchy-Folgen nicht konvergent |
| 17.07.2011, 01:35 | JahAiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Cauchy-Folgen nicht konvergent ich suche gerade einen Raum, in dem die Cauchy-Folgen nicht konvergieren. Meine bisherigen Erfahrungen: Wir haben immer in R gerechnet, und dort wurde auf Grund der Vollständigkeit des R-Raumes gesagt, dass die Cauchy-Folge hier drin konvergiert. Also benötige ich jetzt einen Raum, der nicht vollständig ist. Welcher Raum wäre da z.B. ein Beispiel für, und wieso? Grüße JahAiu |
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| 17.07.2011, 01:45 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ein Beispiel wäre der Raum der rationalen Zahlen. Betrachte zum Beispiel die Folge mit . Du kannst zeigen, dass diese Folge monoton und beschränkt ist. In den reellen Zahlen ist sie damit konvergent und eine Cauchy-Folge. Die Cauchy-Eigenschaft geht in den rationalen Zahlen natürlich nicht kaputt (warum?), dort konvergiert sie jedoch nicht, da der Grenzwert nicht rational ist (der sich übrigens auch leicht berechnen lässt). air |
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| 17.07.2011, 01:59 | JahAiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Hey, danke für die Antwort um diese Uhrzeit! Ah der Raum der rationalen Zahlen. Okay 
Die Cauchy-Eigenschaft besagt ja nur, dass ab einem bestimmten n die Glieder der folge einen sehr kleinen Abstand haben, da ist es ja ganz gleich in welchem Raum man ist, korrekt? Wenn ich dich jetzt richtig verstanden habe, dann konvergiert die Reihe die du mir gezeigt hast gegen einen reellen Wert, der in den rationalen Zahlen nicht enthalten ist. Kann ich auch z.B. mir einen Raum nehmen wie z.B. Relle Zahlen \ {0} und betrachte die Folge 1/n ? Wäre eine Nullfolge in den Reellen Zahlen, aber in meiner definierten Menge gibt es die 0 leider nicht ? Kurze andere Frage direkt hinterher: Wie kriege ich den Grenzwert für deine Folge raus? Habe dies noch nie mit rekursiv Definierten Folgen gemacht
Grüße |
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| 17.07.2011, 02:04 | JahAiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Durch kurzes Einsetzen in OpenOffice Calc deiner Folge sehe ich, dass sie gegen Wurzel2 konvergiert. Bekanntlich keine rationale Zahl. Damit hab ich dein Beispiel verstanden =) Aber, wie berechne ich diesen Grenzwert? (Ohne jetzt auszuprobieren, oder geht es nicht anders? Nach dem dritten Schritt würde ich sehen dass immer die gleiche Zahl dabei herauskommt ) |
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| 17.07.2011, 02:07 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Sozusagen, ja. Das Besondere an der Cauchy-Eigenschaft, im Vergleich zur Definition der Konvergenz, ist, dass sie den Abstand der Folgenglieder miteinander vergleicht, nicht den Abstand der Folgenglieder vom (etwaigen) Grenzwert.
Nein, das würde ich so nicht sagen. Wichtig ist hier, dass die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen (das ist der Grund, weshalb die Cauchy-Eigenschaft der reellen Zahlen im Rationalen erhalten bleibt).
Genau. 
Prinzipiell geht das, ist aber etwas "unschön", da diese Menge unter den Rechenoperationen nicht abgeschlossen ist.
Man kann einen lustigen Trick verwenden. Wenn , dann natürlich auch . Die Rekursionsgleichung geht damit über in . Dies kannst du nun lösen. Beachte, dass für dieses Vorgehen entscheidend ist, dass man weiß, dass die Folge auch wirklich konvergiert. air |
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| 17.07.2011, 02:13 | JahAiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Tut mir Leid, aber wie man den Grenzwert berechnet verstehe ich gerade nicht. Wenn ich deinen Term umforme komme ich auf g/2 + 1/g = g und das hilft mir irgendwie nicht weiter. Es muss ja Wurzel(2) rauskommen, kannst du vllt fix schreiben wie du das gelöst hast?
Grüße und danke nochmal! |
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| 17.07.2011, 02:23 | JahAiu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
ach wie doof 
umgeformt bekomme ich g² = 2 also ist g wurzel 2... manchmal sieht man den wald vor lauter bäumen nicht
Danke für deine Bemühungen... mir wurde jetzt so einiges klar
Gutes Nächtlein! (Könntest du evt noch den Namen dieser Grenzwertberechnung erwähnen?
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| 17.07.2011, 02:33 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Eigentlich bekommst du ja zwei Lösungen. Die negative Lösung kannst du aber ausschließen, wenn du die zwingend nötige(!) Vorarbeit bezüglich der Konvergenz geleistet hast (also die Monotonie und Beschränktheit nachgewiesen hast). Aus dieser Vorgehensweise kann nicht darauf geschlossen werden, dass die Folge tatsächlich konvergiert. Einen speziellen Namen hat die Vorgehensweise soweit ich weiß nicht. air |
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