Verständnisproblem: Taylor-Reihe

17.07.2011, 10:07	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisproblem: Taylor-Reihe Morgen Leute, ich bin etwas überfordert mit folgender Aufgabe. Und zwar soll ich die Entwicklung $\begin{eqnarray} \log (1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} + \dots \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0 < x < 1 \end{eqnarray}$ beweisen. Es geht also um Taylor-Reihen! Als Tipp soll ich die Ableitung entwickeln und dann gliedweise auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,x] \end{eqnarray}$ integrieren. Als Frage wird gefragt, warum das erlaubt ist. Also, die Ableitung von $\begin{eqnarray} \log (1+x) \end{eqnarray}$ ist ja $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray}$ . Entwickelt um $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k x^k + r_n \end{eqnarray}$ Um die Entwicklung von $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+x} \end{eqnarray}$ selbst zu bestimmen muss ich ja zeigen, dass sowohl Taylor-Partialsumme und $\begin{eqnarray} r_n \end{eqnarray}$ konvergieren. Der Konvergenzradius von der Taylor-Partialsumme ist $\begin{eqnarray} R = 1 \end{eqnarray}$ (Wurzelkriterium). Und dann ?
17.07.2011, 10:14	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedenke, dass eine Potenzreihe auf jedem Kreis mit Radius kleiner ihrem Potenzradius gleichmäßig konvergiert.
17.07.2011, 10:21	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Felix, genau. Du meinst, dass damit die gliedweise Integration erlaubt ist oder?
17.07.2011, 10:31	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, denn du darfst integrieren und "gleichmäßigen Grenzwert" bilden vertauschen, additiv ist das Integrieren bekanntlich sowieso.
17.07.2011, 10:37	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau! Was hat es mit der Bedingung $\begin{eqnarray} 0 < x \end{eqnarray}$ auf sich? und warum integrieren über $\begin{eqnarray} [0,x] \end{eqnarray}$ (Der Hinweis) ?
17.07.2011, 10:43	Felix	Auf diesen Beitrag antworten »
Weder Bedingung noch Hinweis verstehe ich ganz Vielleicht ist mit dem Honweis gemeint, dass du dich formal immer auf eine etwas kleineres Intervall als $\begin{eqnarray} (-1,1) \end{eqnarray}$ beschränken musst, da du nur dort glm. Konvergenz hast. Du erhälst die Darstellung aber dennoch auf ganz $\begin{eqnarray} (-1,1) \end{eqnarray}$ , da es ja offen ist.
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17.07.2011, 11:16	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist vielleicht $\begin{eqnarray} \int_{0}^{x} \frac{1}{1+\xi} = \sum_{k=0}^{\infty} \int_{0}^{x} (-1)^k \xi^k d\xi \end{eqnarray}$ gemeint. Also mit Stammfunktion? Gilt dann das Vertauschen?
17.07.2011, 16:28	ThomasFF	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss ich dann immer überprüfen, ob das Restterm dann verschwindet, um zu verifizieren, dass die bestimmte Taylorreihe auch wirklich die Funktion darstellt? Muss ich dafür dann die $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ -ten Ableitungen in der $\begin{eqnarray} [-R,R] \end{eqnarray}$ -Umgebung betrachten und schauen, ob sie beschränkt sind?

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