untergruppen

17.12.2006, 16:52

informatikmaus

untergruppen

Wie kann ich zeigen, dass...

wenn H und K Untergruppen von G sind, dass der Schnitt von H und K auch eine Untergruppe von G ist?

Und gilt das auch für die Vereinigung?

Wie gehe ich diese Aufgabe an?

17.12.2006, 18:57

Mazze

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Ganz einfach Du zeigst das für $\begin{eqnarray*} H \cap K \end{eqnarray*}$ auch eine Untergruppe von G ist. Dazu musst Du einselement, neutrales element und die inversen nachweisen. Das Eins- und das neutrale Element werden die ja schon von der Gruppe G geliefert.

Zur Vereinigung gibst Du ein Möglichst einfaches Gegenbeispiel an. Dabei solltest Du versuchen ein nicht invertierbares Element in $\begin{eqnarray*} H \cup K \end{eqnarray*}$ zu finden.

17.12.2006, 20:45

informatikmaus

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wie zeige ich denn ob etwas in der schnittmenge liegt oder nicht?

17.12.2006, 21:06

Mathespezialschüler

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@Mazze
Wo ist der Unterschied zwischen dem "Einselement" und dem "neutralen Element"?

@informatikmaus
Du musst einfach folgendes zeigen:

$\begin{eqnarray*} &(1)&e\in H\cap K \\ &(2)&a,b\in H\cap K\Rightarrow a\circ b\in H\cap K \\ &(3)&a\in H\cap K\Rightarrow a^{-1}\in H\cap K \end{eqnarray*}$

Und zu deiner Frage: Guck dir einfach die Definition der Schnittmenge an.
Zur zweiten Aussage: Man kann sich durch einen Widerspruchsbeweis überlegen, dass gilt für Untergruppen $\begin{eqnarray*} H,K \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} H\cup K \end{eqnarray*}$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn $\begin{eqnarray*} H\subset K \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} K\subset H \end{eqnarray*}$ ist.

Gruß MSS

17.12.2006, 21:07

Mazze

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Du nimmst an das $\begin{eqnarray*} x \in H \cap K \end{eqnarray*}$ und folgerst dann ein Paar Sachen. Zum Beispiel da x in H existiert ein Inverses zu x in H. Da x aber auch in K liegt liegt dieses Inverse auch in K und damit wo?

Und zu dem Einselement: In der Tat das sind die selben , Hammer

17.12.2006, 23:04

informatikmaus

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kann es nicht sein das mein x ausserhalb der schnittmenge von H und K liegt. es ist in H aber vieleicht nicht in der schnittmenge.

du sagst: "Zum Beispiel da x in H existiert ein Inverses zu x in H. Da x aber auch in K liegt liegt dieses Inverse auch in K und damit wo?"

warum liegt das x auch in K?

17.12.2006, 23:07

Mazze

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Das war meine Annahme sei $\begin{eqnarray*} x \in H \cap K \end{eqnarray*}$ dann ist es sowohl in h als auch in K. Wie schon erwähnt wenn es im Schnitt liegt dann auch in den Einzelgruppen weil der Schnitt so definiert ist.

Zitat:

kann es nicht sein das mein x ausserhalb der schnittmenge von H und K liegt. es ist in H aber vieleicht nicht in der schnittmenge.

Nein, dann wäre x nämlich nicht im Schnitt im Gegensatz zur Vorrausetzung. Du willst zeigen das der Schnitt eine Gruppe ist, das heißt Du betrachtest nur die Elemente aus diesem Schnitt.

17.12.2006, 23:15

informatikmaus

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oh das stimmt!

danke für die erklärungen smile

jetzt ist es zu spät für mich und ich muss bald ins bettchen Augenzwinkern

aber ich werde mich morgen wieder der aufgabe widmen.

danke schonmal! smile

18.12.2006, 16:40

informatikmaus

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wie zeige ich denn, dass $\begin{eqnarray*} a \in H \cap K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a*b \in H \cap K \end{eqnarray*}$ ?

18.12.2006, 16:42

Mazze

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Genauso wie ich es obengemacht hab nur ist Deine Annahme nicht $\begin{eqnarray*} a \in H \cap K \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} a,b \in H \cap K \end{eqnarray*}$ .

18.12.2006, 18:40

informatikmaus

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ok, also ich nehme an, dass $\begin{eqnarray*} a \in H \cap K \end{eqnarray*}$ daruas folgt, dass $\begin{eqnarray*} a^{-1} \in H \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} a \in K \end{eqnarray*}$ ist auch $\begin{eqnarray*} a^{-1} \in K \end{eqnarray*}$

und Annahme: $\begin{eqnarray*} a,b \in H \cap K \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} a,b \in H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a,b \in K \end{eqnarray*}$ somit $\begin{eqnarray*} a*b \in H \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a*b \in K \end{eqnarray*}$ somit $\begin{eqnarray*} a*b \in H \cap K \end{eqnarray*}$

18.12.2006, 18:43

Mathespezialschüler

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Genau!

Gruß MSS

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