Residuen (Funktionentheorie)

17.07.2011, 14:07

CN123

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Residuen (Funktionentheorie)

Bestimmen Sie für die folgenden Funtionen die Residuen in allen Singularitäten:

(a) $\begin{eqnarray*} f_{a}(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2} \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} f_{b}(z)=\frac{1-cos(z)}{z^2} \end{eqnarray*}$

(c) $\begin{eqnarray*} f_{c}(z)=\frac{1}{(z^2+1)(z-i)^3} \end{eqnarray*}$

(d) $\begin{eqnarray*} f_{d}(z)=\frac{z^3}{(1+z)^3} \end{eqnarray*}$

Meine Vorgehensweise wäre nun das ich die Singularitäten für jede Funtkion suche, also sozusagen die Definitionslücke wo die Funktion nicht definiert ist, die mache ich indem ich Suche bei welchem Wert der Nenner 0 wird. Die ist der Fall bei
(a) 1
(b) 0
(c) i
(d) -1

um nun die Residuen auszurechnen muss ich die eine Formel anwenden womit ich an links und von recht diesem Singualaritätenwert annähere ich glaube das ist diese Formel:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=-\infty }^\infty a_{n}(z-z_{0})^n \end{eqnarray*}$

wobei hier der Wert $\begin{eqnarray*} z_{0}= \end{eqnarray*}$ der Wert der Singularität ist...liege ich richtig oder bin ich komplett auf dem Holzweg...

17.07.2011, 15:09

Felix

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Zitat:

Meine Vorgehensweise wäre nun das ich die Singularitäten für jede Funtkion suche, also sozusagen die Definitionslücke wo die Funktion nicht definiert ist, die mache ich indem ich Suche bei welchem Wert der Nenner 0 wird.

Schon mal nicht schlecht. Bei c) hast du allerdings -i vergessen.

Man kann meromorphe Funktionen lokal um isolierte Singularitäten in Laurent-Reihen entwickeln. Diese haben dann eine Form wie du sie ja selbst auch richtig hingeschrieben hast. Der Koeffizient $\begin{eqnarray*} a_{-1} \end{eqnarray*}$ ist dann das Residum an dieser Stelle.

Nun gibt es verschiede Möglichkeiten dieses zu berechnen.

1) Man bestimmt die Laurentreihenentwicklung der Funktion (meistens natürlich viel zu aufwendig aber z.B. bei Quotienten analytischer Funktionen manchmal sehr praktisch)

2) Die Singularität ist eine Polstelle nter Ordnung. Multiplizierst du die Funktion nun mit $\begin{eqnarray*} (z - w)^n \end{eqnarray*}$ und leitetest n-1 mal ab, dann erhältst du,wenn du bei w auswertest, das n-1 - fache des Residuums (das kann man ganz einfach formal nachrechnen).

3) Besonders einfach ist die Situation, wenn die Funktion Quotient zweier analytischer Funktionen $\begin{eqnarray*} f,g \end{eqnarray*}$ ist und nur $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ eine 1-fache Nullstelle hat. Dann ist das Residuum gleich $\begin{eqnarray*} f(z)/g'(z) \end{eqnarray*}$ (auch diese Tasache ist elementar nachzurechnen (z.b. aus 2) )).

Versuch diese Methoden mal anzuwenden.

17.07.2011, 15:33

CN123

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Wenn ich mir nun Aufgabe (b) anschaue dann habe ich im Zähler eine Nullstelle bei z=o und im Nenner eine 2fach Nullstelle bei z=0

Haben also hier einen Pol (da k<m ist) von k-m=2-1=> einen Pol 1 Ordnung bei z=0

Nun soll ich die Funktion fb(z) einmal Ableiten oder die Funktion fb(z)*(z-w)^n (wobei w=0 ist) einmal Ableiten???

Und Ergebniss, von der Ableitung, sagt mir dann was genau aus oder was müsste ich erwarten?

17.07.2011, 15:58

Felix

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b) ist hebbar ...

17.07.2011, 16:03

CN123

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Wenn (b) hebbar ist würde das nicht bedeuten das die Nullstelle des Zählers eine höhere Ordnung hat als die Nullstelle des Nenners hat...für mich ist es aber so das der Nenner eine höhere Ordnung hat k=2 und der Zähler m=1 somit ist es doch ein Pol der Ordnung 1 und nicht hebbar oder???

17.07.2011, 16:18

Felix

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$\begin{eqnarray*} 1 - cos z \end{eqnarray*}$ hat bei Null eine doppelte Nullstelle !

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17.07.2011, 16:34

CN123

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AAAh stimmt hab ich ganz übersehen...gut dann verstehe ich das die Funktion hebbar ist....und wie verfahre ich nun weiter bei der berechnung des Residuums?? Geht das überhaupt wenn die Funk. hebbar ist...?

Im Fall (c)

haben wir Polstelle bei i und Wurzel(-1) wobei i eine dreifche und Wurzel(-1) eine 2fache Nullstelle ist und zwar der Ordnung 5.

Falls das nun alles Stimmt mit welcher Formel rechne ich nun die Residuuen aus??

17.07.2011, 16:41

Felix

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Zitat:

...und wie verfahre ich nun weiter bei der berechnung des Residuums?? Geht das überhaupt wenn die Funk. hebbar ist...?

Dann ist das Residuum wie bei jeder (eigentlich) analytischen Funktion Null.

Zitat:

Im Fall (c) haben wir Polstelle bei i und Wurzel(-1) wobei i eine dreifche und Wurzel(-1) eine 2fache Nullstelle ist und zwar der Ordnung 5. Falls das nun alles Stimmt mit welcher Formel rechne ich nun die Residuuen aus??

$\begin{eqnarray*} \sqrt {-1}=i \end{eqnarray*}$ ist nur eine Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^2 = -1 \end{eqnarray*}$ !
Einfacher geht alles mit $\begin{eqnarray*} z^2 + 1 = (z-i)(z+i) \end{eqnarray*}$ . Damit hast du eine vierfache Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ und eine einfache Nullstelle bei $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ . Die Ordnungen der Polstellen an den jeweiligen Stellen ist damit auch 4 bzw. 1 , da der Zähler dort keine NS hat.

Mal eine Frage meinerseits. Studierst du Mathe oder brauchst du das hier für irgendein anderes Studium?

17.07.2011, 17:13

CN123

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Nein ich studiere kein Mathe habe diese Aufgabenblatt bekommen um einen Schein zu erhalten....Hausübung....aber ok ich habe nun meine Nullstellen und meine Ordnungen...wie ist das nun mit der Formel für die Residuen..

ich habe gegeben g(x)=f(z)*(z-w)^n, wobei w meine nullstelle darstellt. Habe ich nun den Fall das ich bei i eine Nullstelle 4 Ordnung habe

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{(z^2+1)(z-i)^3} *(z-i) \end{eqnarray*}$
daraus folgt
$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{(z^2+1)(z-i)^2} \end{eqnarray*}$

und muss ich nun die 4 Ableitung von g(x) ausrechnen und das ist dann mein gewünschtes Ergebniss für das Residuum??

17.07.2011, 18:15

Felix

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Nagut dann mach ich c) mal für dich, die anderen kannst du dann selbst probieren.

$\begin{eqnarray*} g(x) = \frac{1}{z + i} \frac{1}{(z - i)^4} \end{eqnarray*}$ .

Nun betrachte ich zuerst $\begin{eqnarray*} res(g,-i) \end{eqnarray*}$ :

Hier kann man die Funktion als Quotient $\begin{eqnarray*} \frac {f(z)}{h(z)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z) = \frac{1}{(z - i)^4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(z) = z + i \end{eqnarray*}$ betrachten. Dabei hat $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} -i \end{eqnarray*}$ eine einfache Nullstelle daher gilt $\begin{eqnarray*} res(g,-i)=\frac {f(-i)}{h'(-i)} \end{eqnarray*}$ .

Nun zu $\begin{eqnarray*} res(g,i) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} G(z)=g(z)(z-i)^4 \end{eqnarray*}$ die Laurentreihe der Funktion $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ hat nun den Koeffizienten $\begin{eqnarray*} a_{-1} \end{eqnarray*}$ (das ist ja genau das Residuum) der Reihe von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bei der Potenz $\begin{eqnarray*} (z-i)^3 \end{eqnarray*}$ . Wenn du diese Funktion nun dreimal ableitest und bei $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ auswertest so erhält man $\begin{eqnarray*} 6a_{-1} \end{eqnarray*}$ (der 6er kommt vom 3mal ableiten).

17.07.2011, 19:07

CN123

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bis g(x) hab verstanden dann wird es aber.....du fängst an mit res(g, -i) und dann wieder res(g, -i) muss das 2te nicht res(g, i) heissen??

jedenfalls beim ersten res(g, -i)

berechnest du nur das Residuum von 1/z+i...dies machst du indem du f(z)/h'(z) rechnest..frage ist nur warum nimmst du f(z)=1/(z-i)^4 und nicht den ganzen therm???
Nach deiner Rechnung habe ich für res(g, -i)=3-i raus...???

Für das 2te res(g, -i):

Hier verstehe ich warum du die Laurentreihe genommen hast nur g(z) was ist das genau für ein Wert oder diehnt er nur als der Faktor a_n?? So sehe ich es und dann leitest du ganz G(z) nach z 3 mal ab..ich habe gedacht da unser n= 4 ist das man 4 mal ableiten muss...ich bemerke das ich noch sehr viele definitionslücken habe...kannst du mir evtl eine Seite empfählem wo die einzelnen Schritte wie man das Ausrechnet genau beschrieben wird...von g(x) auf g(z) h(z) f(z) ich kann das nicht so gut nachfolziehen meine Unterlagen dazu sind nur in Fach-mathematischer form erklärt die ich mal gar nicht verstehe

17.07.2011, 19:44

CN123

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OK ich hab nun nochmal in meine Unterlagen vertieft und kann das mit den res(g, i) nachvollziehen warum man auch die 3 Ableitung wählt...denke ich... gehe ich richtig davon aus das $\begin{eqnarray*} g(z)=\frac{1}{z-i} \end{eqnarray*}$ ist??? und

$\begin{eqnarray*} res(g,i)= \frac{g^3(i)}{3!} \end{eqnarray*}$ ist...leite ich nun mein:

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{(z-i)^4} \end{eqnarray*}$

3 mal ab erhalte ich

$\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{120(z-i)^7} \end{eqnarray*}$

setzt ich nun mein i ein: $\begin{eqnarray*} g(i)=\frac{1}{120(i-i)^7} \end{eqnarray*}$

bekomme ich ja im Nenner 0 raus...hmm komisch heisst es dann evtl doch $\begin{eqnarray*} res(g,-i)= \frac{g^3(i)}{3!} \end{eqnarray*}$ dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} g(-i)=\frac{1}{120(-2i)^7} \end{eqnarray*}$ .....stimmt dies soweit??

17.07.2011, 20:21

Felix

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Zitat:

bis g(x) hab verstanden dann wird es aber.....du fängst an mit res(g, -i) und dann wieder res(g, -i) muss das 2te nicht res(g, i) heissen??

Nein beim zweiten mal habe ich mich geirrt, dort sollte es $\begin{eqnarray*} res(g,i) \end{eqnarray*}$ heißen.

Am Anfang ist auch noch ein anderer Fehler dort sollte einmal $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ sein. Ich habe jetzt beides ausgebessert.

Zitat:

Hier verstehe ich warum du die Laurentreihe genommen hast nur g(z) was ist das genau für ein Wert oder diehnt er nur als der Faktor a_n??

$\begin{eqnarray*} g(z) \end{eqnarray*}$ ist die Funktion deren Residuum du berechnen willst und $\begin{eqnarray*} G(z)=g(z)(z-i)^4 = \frac{1}{1+i} \end{eqnarray*}$

Zitat:

OK ich hab nun nochmal in meine Unterlagen vertieft und kann das mit den res(g, i) nachvollziehen warum man auch die 3 Ableitung wählt...denke ich... gehe ich richtig davon aus das $\begin{eqnarray*} g(z)=\frac{1}{z-i} \end{eqnarray*}$ ist??? und $\begin{eqnarray*} res(g,i)= \frac{g^3(i)}{3!} \end{eqnarray*}$

Nein es ist $\begin{eqnarray*} G(z) = \frac{1}{1+i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} res(g,i)= \frac{G^3(i)}{3!} \end{eqnarray*}$ .

17.07.2011, 20:26

CN123

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hab mal versucht die a nach diesem schema zu machen:

Habe rausbekommen das f(z) bei z=1 eine Polstelle der Ordnung 2 hat.

Für $\begin{eqnarray*} res(g,1)=\frac{G''(1)}{2!} \end{eqnarray*}$ habe ich als residuum Wert $\begin{eqnarray*} 2 a_{-n} \end{eqnarray*}$ rausbekommen.

Als g(x) habe ich hier $\begin{eqnarray*} g(x)=\frac{1}{(z-1)^2} \end{eqnarray*}$ verwendet...das heisst $\begin{eqnarray*} G(x)=g(x)*(z-1)^2 \end{eqnarray*}$

Leite ich nun G'' bekomme ich....

17.07.2011, 20:37

Felix

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Ich denke ich habe dich mit der Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ein wenig vewirrt, ich meine damit deine Funktion die du untersuchst also im Fall von a) $\begin{eqnarray*} f_{a}(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2} \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion kannst du nun mit $\begin{eqnarray*} (z-1)^2 \end{eqnarray*}$ multiplizieren. Das wäre dann das $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ .

17.07.2011, 20:45

CN123

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Asoo ok dann...

$\begin{eqnarray*} G(z)=f(z)*(z-1)^2 \end{eqnarray*}$

das ist

$\begin{eqnarray*} G(z)=\frac{e^z}{(z-1)^2} *(z-1)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G(z)=e^z \end{eqnarray*}$

2mal abgeleitet ist

$\begin{eqnarray*} G''(z)=e^z \end{eqnarray*}$

somit

$\begin{eqnarray*} res(g,1)=\frac{e^z}{2!} \end{eqnarray*}$

wenn das nun soweit stimmt dann ist mein Residuum Wert nun was genau??? 2 a_n??

17.07.2011, 20:52

Felix

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} res(g,1)=\frac{e^z}{2!} \end{eqnarray*}$

Nicht ganz es ist $\begin{eqnarray*} res(g,1)=\frac{e^1}{1!}= e \end{eqnarray*}$ . Damit hast du dann auch schon das Residuum wie kommst du auf 2a_n ???

17.07.2011, 20:56

CN123

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OOh ja keine ahnung was ich da gedacht hatte....ich denke das ich es nun langsam raus habe mache die Aufgaben dann bis morgen und stelle sie dann Online wärst du so gut und schaust morgen nochmal hier im Forum vorbei und wirfst ein Auge auf die Lösungen....kann es sein das bei Aufgabenteil (b) keine Residum Wert rauskommt da wir hier eine hebbare bei z=0 haben??

17.07.2011, 20:59

Felix

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Ja kann ich machen.

Zitat:

kann es sein das bei Aufgabenteil (b) keine Residum Wert rauskommt da wir hier eine hebbare bei z=0 haben??

Es kommt schon ein Residuum heraus allerdings ist es 0.

18.07.2011, 10:07

Huggy

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Zitat:

Original von Felix
Nicht ganz es ist $\begin{eqnarray*} res(g,1)=\frac{e^1}{2!}= e/2 \end{eqnarray*}$ . Damit hast du dann auch schon das Residuum wie kommst du auf 2a_n ???

Das Residuum ist natürlich e und nicht e/2. Da man eine Polstelle 2. Ordnung hat, ist bei der benutzten Regel nur 1 mal abzuleiten und deshalb ist der Vorfaktor 1 und nicht 1/2.

18.07.2011, 10:24

Felix

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Ja du hast Recht, habe es schon ausgebessert!

18.07.2011, 14:47

CN123

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Also ich bin zu folgenden Ergebnissen gekommen:

(a) z=1, ein Pol 2 Ordnung und res=e
(b) bei z=0 eine hebbare Singularität und res=0
(c) z=i 4-Fache Nullstelle Z=-i einfache Nullstelle
res(g,i)=6a_n und res(g,-i)=-0,25
(d) z=-1 hebbare funkt. res=0

kann das einer bestätigen?

18.07.2011, 14:53

Felix

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c) und d) sind falsch und wie kommst du bitte auf res(g,i)=6a_n was soll $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ überhaupt sein ?

18.07.2011, 14:57

CN123

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Ich meine a_1 also 6a_1 kommt raus...kannst du mir sagen was genau meine Fehler sind...für (c) res(g,-i) hab ich -0,25 raus das ist denk ich mal falsch und bei (d) hab ich nicht 100% gewusst ob nun Polstelle oder hebbar ist wie geht man dies bezüglich vor...

18.07.2011, 15:11

Felix

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Zitat:

Ich meine a_1 also 6a_1 kommt raus

Auch das ist falsch. Wie kommst du darauf? Das Ergebnis ist wie schon einmal von mir geposteted:

$\begin{eqnarray*} res(g,i)= \frac{G^3(i)}{3!} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} G = f_c \cdot (z-i)^4 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

(c) res(g,-i) hab ich -0,25 raus das ist denk ich mal falsch

Ja auch hier sehe ich nicht wie du darauf kommst. Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(-i - i)^4} = 1/8 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

(d) hab ich nicht 100% gewusst ob nun Polstelle oder hebbar ist wie geht man dies bezüglich vor...

Im Nenner hast du bei -1 eine 3fache NS und im Zähler keine. Also hast du einen Pol dritter Ordnung.

18.07.2011, 15:20

CN123

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Ich habe immer gedacht wenn der Zähler eine größere oder größergleich Ordnung hat als der Nenner das dann eine hebbare Singularität herscht...hab glesen das m>=k ist dann...ansonsten bei m<k Pol.....

18.07.2011, 15:24

Sumgoku

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2^4>>8

Augenzwinkern

18.07.2011, 15:25

CN123

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habe (d) noch einmal gerechnet und komme auf das Ergebniss bei z=-1 eine Polstelle 3.Ordnung und res(g,-1)=-3

18.07.2011, 15:40

Huggy

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Zitat:

Original von Felix
Das Ergebnis ist wie schon einmal von mir geposteted:

$\begin{eqnarray*} res(g,i)= \frac{G^3(i)}{3!} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} G = f_c \cdot (z-i)^4 \end{eqnarray*}$ .

Da scheint mir noch ein Wurm drin zu stecken. Mit

$\begin{eqnarray*} G(z)=\frac{1}{z+i} \end{eqnarray*}$

hat man

$\begin{eqnarray*} G'''(z)=\frac{-6}{(z+i)^4} \end{eqnarray*}$

und damit

$\begin{eqnarray*} res(g, i)=\frac{-6}{6(i+i)^4}=-\frac{1}{16} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ja auch hier sehe ich nicht wie du darauf kommst. Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(-i - i)^4} = 1/8 \end{eqnarray*}$ .

Adam Riese plädiert für 1/16.

18.07.2011, 15:41

Felix

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Zitat:

Ich habe immer gedacht wenn der Zähler eine größere oder größergleich Ordnung hat als der Nenner das dann eine hebbare Singularität herscht

Das stimmt, aber Ordnung bedeutet in diesem Fall Ordnung der NS an dieser einen bestimmten Stelle.

Zitat:

habe (d) noch einmal gerechnet und komme auf das Ergebniss bei z=-1 eine Polstelle 3.Ordnung und res(g,-1)=-3

3. ordnung passt aber wie kommst du auf -3 ?

@sumgoku

Danke für den Hinweis.

Zitat:

Adam Riese plädiert für 1/16.

^^ und einen Vorzeichenfehler auch noch ...

18.07.2011, 15:57

CN123

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe:

$\begin{eqnarray*} g(z)=f_{d}(z)*(z-1)^3 \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} g(z)=z^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} res(g,-1)= \frac{g''(-1)}{2!} \end{eqnarray*}$

als zweite Ableitung von $\begin{eqnarray*} g''(z)=g*z \end{eqnarray*}$

einsetezen in res kommt -3 raus

18.07.2011, 16:01

Felix

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Ja stimmt so. Ich hab m ich vorher vertan Freude

Freude

18.07.2011, 16:05

CN123

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In hab auch zu einem ähnlichen Thema fragen:

Singularität bestimmen

evtl. kann mir ja dir/euch weitergeholfen werden...aber danke bis jetzt :-)

18.07.2011, 16:39

CN123

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sorry falscher Link bitte hier mal abnschauen....Klassifizieren von Singularitäten

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