orthogonale Matrix

17.07.2011, 12:24

DieKleinste

orthogonale Matrix

Hallo
hier meine Aufgabe:

Man zeige, dass eine orthogonale Matrix $\begin{eqnarray*} A\in R^{nxn} \end{eqnarray*}$ mit detA = -1 den Eigenwert -1 hat

So also die Überlegungen von mir sind.
Damit die Determinante -1 ist, müssen eine ungerade Anzahl an Eigenwerten negativ sein bei einer Dreiecksmatrix
Dann, damit das ganze Orthogonal ist, muss ja das Skalarprodukt = 0 sein
Das heißt ich suche eine Matrix, bei der die Bilder der Basisvektoren orthogonal aufeinander stehen
und dann brauch ich noch den Satz: $\begin{eqnarray*} A^{t} = A^{-1} \end{eqnarray*}$
So und das heißt ja dann, wenn ich nehme detA²= detA*detA = det $\begin{eqnarray*} A^{t} detA^{-1} \end{eqnarray*}$ = det $\begin{eqnarray*} A^{t} A^{-1} \end{eqnarray*}$ und da $\begin{eqnarray*} A^{t} A^{-1} \end{eqnarray*}$ = E ist, muss ja dann die Determinante gleich 1 sein, bzw kann + oder -1 werden.
So und jetzt weiß ich aber nicht so ganz was ich da machen soll damit, vielleicht kann mir jemand helfen

17.07.2011, 13:25

Felix

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Diagonalisiere einfach im Komplexen. Zeige dann, dass alle Eigenwerte betragsmäßig 1 sein müssen (hier fließt die orthogonalität und |det| = |1| ein). Benutze dann det=-1 um zu zeigen, dass es den EW -1 gibt.

17.07.2011, 14:02

DieKleinste

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ok, also ich sag, ich hab eine Matrix A und suche meine Eigenvektoren über das charakteristische Polynom : x= det(A- $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ E)

aber da müsst ich ja vorher schonmal beweisen dass A überhaupt diagonalisierbar ist, oder? Ist ja gar nichts angegeben also muss ich ja erstmal beweisen, dass die Eigenwerte paarweise verschieden sind
Ich hab echt keinen Plan wie ich da ran gehen soll

17.07.2011, 14:35

Felix

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Zitat:

aber da müsst ich ja vorher schonmal beweisen dass A überhaupt diagonalisierbar ist, oder?

Das folgt aus der Orthogonalität, denn nicht triviale Jordanblöcke sind nicht orthogonal.

Zitat:

Ist ja gar nichts angegeben also muss ich ja erstmal beweisen, dass die Eigenwerte paarweise verschieden sind

Das müssen sie ja gar nicht sein. Wichtig ist nur, dass die algebraische gleich der geometrischen Vielfachheit ist und das folgt aus meiner obigen Bemerkung.

17.07.2011, 15:58

tmo

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Übrigens ist eine orthogonale Abbildung insbesondere normal (kommutiert mir ihrer Adjungierten) und dies impliziert Diagonalisierbarkeit (Es gibt sogar eine ONB aus Eigenvektoren).

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