Stetige Funktion Beweis?

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17.07.2011, 17:33	DerHausa3	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktion Beweis? Meine Frage: Hallo, ich schaue mir gerade die Stetigkeit allgemein an und habe dort Probleme mal ein einfaches Beispiel durchrechnen zu können... Sagen wir ich möchte schauen, ob x² stetig ist. Dann müsste ich jetzt für jedes x0 ? N beweisen, dass sie stetig sind? Denn eine Funktion ist stetig, wenn alle x stetig sind. Meine Ideen: Ich habe die Definition vor mir liegen, aber kann mir nicht genau vorstellen, wie so ein Beweis zu führen ist? Vllt mal vorweg nur Stetigkeit im Punkt, von mir aus x = 1. Ich soll also prüfen, ob x stetig in 1 ist. Dann brauche ich ja ein delta und ein epsilon, sodass die Gleichung stimmt. d(x,x0) < delta und d(f(x),f(x0)) < epsilon eingesetzt erhalte ich jetzt d(x,1) < delta und d(x²,1) < epsilon bin ich auf dem richtigen Weg? Grüße
17.07.2011, 18:02	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Stetige Funktion Beweis? Leider kann ich deinen Ausführungen nicht ganz folgen. Bei Stetigkeitsbeweisen versucht man zumeist von $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ zu schließen. Dann ist auch nicht gesagt, dass, wenn eine Funktion in x_0=1 stetig ist, sie auch auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig ist. Beginne einmal damit, $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\| \end{eqnarray}$ zu berechnen.
17.07.2011, 18:08	JahAiu	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, ich habe ein wenig undeutlich das aufgeschrieben (keine latex erfahrung) f(x) = x² f(x0) = 1² = 1 damit habe ich \|x²-1\| korrekt?
17.07.2011, 18:18	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft, wenn du die Stetigkeit der Funktion an der Stelle x_0=1 zeigst ist nichts gewonnen, wenn du die Stetigkeit auf dem gesamten Definitionsbereich zeigen sollst. Beginne doch einmal so, wie ich es in dem letzten Post beschrieben habe und berechne $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\| \end{eqnarray}$ .
17.07.2011, 18:29	JahAiu	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, ich dachte es ging darum jetzt die Stetigkeit an der Stelle zu zeigen. Du willst sicher jetzt folgendes sehen: \|x²-(x_0)²\| Damit dann eventuell die dritte Binomische Formel anwenden? = \|(x+x0) * (x-x0)\| ?
17.07.2011, 18:38	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, dritte binomische Formel ist richtig. Wir haben nun also $\begin{eqnarray} \|f(x)-f(x_0)\|=\|x-x_0\| \cdot \|x+x_0\|< \delta \end{eqnarray}$ . Wie können wir nun $\begin{eqnarray} \|x-x_0\| \end{eqnarray}$ abschätzen?
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17.07.2011, 18:42	JahAiu	Auf diesen Beitrag antworten »
und hier scheiter ich ich hätte jetzt erstmal gesagt, dass wir dies ,,sehr klein'' machen bzw erstmal hätte ich gesagt dass \|x-x0\| < 1 sei. aber sicher bin ich mir hier nicht grüße
17.07.2011, 18:45	JahAiu	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal ne andere Idee.... Könnte ich nicht einfach zeigen, dass f(x) = x stetig ist? Ich habe mir irgendwo notiert, dass Stetige Funktionen multipliziert wieder stetig sind. Damit wäre dann auch x^n generell stetig...?
17.07.2011, 18:47	JahAiu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, jetzt bin ich mir gar nicht mehr so sicher dass man das wirklich machen darf ^^ Die Hintereinanderausführung von Funktionen die stetig sind, ergeben wieder eine stetige Funktion... aber hm
17.07.2011, 19:46	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst das auch mit dem Epsilon-delta Kriterium zeigen. Wir wählen $\begin{eqnarray} \|x-x_0\|<1 \Rightarrow \|x\|<\|x_0\|+1 \end{eqnarray}$ Damit schätzen wir $\begin{eqnarray} \|x+x_0\| \end{eqnarray}$ ab: $\begin{eqnarray} \|x+x_0\|<2\|x_0\|+1 \end{eqnarray}$ . Was ergibt sich also?
17.07.2011, 20:02	JahAiu	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ergibt sich dann: (\|x_0\|+1)*(2\|x_0\|+1) = 2\|x_0\|² + x_0 + 2x_0 + 1 = 2\|x_0\|² + 3x_0 + 1 ? habe ich das jetzt richtig gesehn?
17.07.2011, 20:13	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum auch immer du das tust.... $\begin{eqnarray} \|x-x_0\| \cdot \|x+x_0\| < \|x-x_0\| \cdot (2 \|x_0\|+1)< \epsilon \end{eqnarray}$ . Wie kann man nun delta wählen?

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