Einfache Funktionenreihe

17.07.2011, 17:40	Keff91	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfache Funktionenreihe Guten Abend Leute , es geht um folgende Funktion: $\begin{eqnarray} f(y) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k^2+y^2} \end{eqnarray}$ Die Frage dazu lautet: Ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in y=1 stetig? Ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in y=1 differenzierbar? Wie kann ich das besonders schön zeigen? Seh leider nix vor mir. Es ist doch bestimmt das Vertauschen von Grenzwert und Reihe?
17.07.2011, 19:36	Jeremy124	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Einfache Funktionenreihe Ich würde am einfachsten ausnützen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} a_k(y) \end{eqnarray}$ gleichmäßig bezüglich $\begin{eqnarray} y \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ angenommen wird. Die 2 Fragen kann man dann lösen unter Anwendung des Satzes zum Vertauschen von $\begin{eqnarray} lim_{y \to 1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} \end{eqnarray}$ . Dann kannst du nämlich die 1. Frage positiv beantworten, denn die $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ sind alle stetig in $\begin{eqnarray} y=1 \end{eqnarray}$ und somit auch die Reihe. Kleiner Beweis: $\begin{eqnarray} lim_{y \to 1} f(y) = lim_{y \to 1} \sum_{k=0}^{\infty} a_k(y)= \sum_{k=0}^{\infty} lim_{y \to 1} a_k(y)= \sum_{k=0}^{\infty} a_k(1) = f(1) \end{eqnarray}$ . Um die Gleichmäßige Konvergenz der Reihe zu überprüfen, bietet sich das Majorantenkriterium von Weierstraß an. Satz: Es gelte $\begin{eqnarray} \\| a_n(x) \\| \le C_n , n \in \mathbb{N}, x \in X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} C_n \end{eqnarray}$ konvergent Dann konvergiert $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x) \end{eqnarray}$ gleichmäßig bezüglich $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ . Eine Majorante für $\begin{eqnarray} a_k(y) \end{eqnarray}$ wäre z.B. $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ , wofür bekanntlich die Reihe konvergiert.

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