mehrfache partielle integration

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17.07.2011, 19:10	math20	Auf diesen Beitrag antworten »
mehrfache partielle integration Hi ich muss folgende Aufgabe partiell integrieren. $\begin{eqnarray} \int_0^\pi \! e^{-2x} \cdot \sin(x) \, dx \end{eqnarray}$ so nachdem erstenmal bekomme ich folgendes. $\begin{eqnarray} \int_0^\pi \! e^{-2x} \cdot \sin(x) \, dx =\left[ -\frac{1}{2}e^{-2x} \cdot sin(x) \right]_{b}^{a}-\int_a^b \! -\frac{1}{2}e^{-2x}\cdot cos(x) \, dx \end{eqnarray}$ SO jetzt muss ja nochmal partiell intergrieren. Und bekomme dann folgendes: $\begin{eqnarray} =\frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\cdot cos(x) \right]_{b}^{a} -\frac{1}{2}\int_a^b \! -\frac{1}{2}e^{-2x}\cdot (-sin(x)) \, dx \end{eqnarray}$ So und jetzt müsste ich ja wieder partiell integrieren. Naja ich beweg mich da halt im Kreis. Kann mir jemand darauf helfen?
17.07.2011, 19:17	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Math 20! bedenke folgendes: a = b-a -> 2a=b -> a=b/2 Was ist denn nun, wenn statt a hier ein Integral stehen würde? Dann kann man auch das Integral auf die andere Seite bringen. Und genau so kannst du es hier auch machen! Gruß Johnsen
17.07.2011, 19:44	math20	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mehrfache partielle integration $\begin{eqnarray} \int_0^\pi \! e^{-2x} \cdot \sin(x) \, dx \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} =\frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\cdot cos(x) \right]_{b}^{a} -\frac{1}{2}\int_a^b \! -\frac{1}{2}e^{-2x}\cdot (-sin(x)) \, dx \end{eqnarray}$ Also wenn ich das jetzt umstelle, bekomme ich ja folgendes. $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\int_a^b \!e^{-2x} \cdot \sin(x) \, dx =\frac{1}{2} \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\cdot cos(x) \right]_{b}^{a} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \int_a^b \!e^{-2x} \cdot \sin(x) \, dx =-\frac{1}{2} \left[e^{-2x}\cdot cos(x) \right]_{b}^{a} \end{eqnarray}$ Ist das so irgendwie richtig?
17.07.2011, 19:51	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Prinzipiell ja, aber deine 2. partielle Integration ist nicht richtig! bilde nochmal $\begin{eqnarray} \int_a^b \! -\frac{1}{2}e^{-2x}\cdot cos(x) \, dx \,=\, -\frac{1}{2}\int_a^b \!e^{-2x}\cdot cos(x) \, dx \end{eqnarray}$ Und setz das dann ein. Gruß Johnsen
17.07.2011, 20:39	math20	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh habe das jetzt nachgerechnet und komme irgendwie immer auf das selbe ergebnis... Also ich glaube die partielle integration ist richtig...
17.07.2011, 20:52	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab folgendes: $\begin{eqnarray} \int_a^b e^{-2x}\cdot \sin(x)\,dx\,=\, \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\sin(x)\right]_a^b\,+\,\frac{1}{2}\int_a^b e^{-2x}\cdot \cos(x)\,dx\,=\,\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\sin(x)\right]_a^b\,+\,\frac{1}{2}\left(\left[-\frac{1}{2}\cdot e^{-2x}\cos(x)\right]_a^b-\frac{1}{2}\int_a^b \sin(x)\cdot e^{-2x}\,dx\right) \end{eqnarray}$ oder in Kurzform (ohne Zwischenschritt und schon ausmultipliziert: $\begin{eqnarray} \int_a^b e^{-2x}\cdot \sin(x)\,dx\,=\, \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\sin(x)\right]_a^b\,+\,\frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2}\cdot e^{-2x}\cos(x)\right]_a^b-\frac{1}{4}\int_a^b \sin(x)\cdot e^{-2x}\,dx \end{eqnarray}$ Kannst du die Schritte nachvollziehen? Man muss bei der partiellen Integration immer mit den Vorzeichen aufpassen! Aber im Prinzip wurde hier nur 2 mal partiell Integriert und ich hoffe die Klammern machen das gut deutlich! Nun bringst du das -1/4 ganz rechts auf die linke Seite und teilst durch den Vorfaktor vor dem Integral, dann hast du dein gesuchtes Integral! Gruß Johnsen
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17.07.2011, 21:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe eines nicht: Wenn $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ die Grenzen sind, dann verschwindet doch gleich zu Beginn der integralfreie Ausdruck. Wozu also das ganze Zeug die ganze Zeit mitschleppen?
17.07.2011, 21:06	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Um das Prinzip der partiellen Integration zu verdeutlichen! Außerdem sind bei meiner Herleitung ja die Grenzen a und b und keine speziellen!! Du kannst ja schwer an einem Spezialfall jemanden das allgemeine Prinzip verdeutlichen! Und wenn man das gecheckt hat, dann kann man ja jede beliebige Grenze einsetzen! Soviel von meiner Seite dazu! Gruß Johnsen
17.07.2011, 21:40	math20	Auf diesen Beitrag antworten »
Also mir ist schon klar das: $\begin{eqnarray} \, \left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\sin(x)\right]_a^b\, \end{eqnarray}$ =0 ist bei den grenzen, also wenn das von Leopold gemeint war. So aber nun muss ich den mist ja rüberholen.Also ich habe dann folgendes raus: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! e^{-2x}\cdot sin(x) \, dx +\frac{1}{4} \int_a^b \! e^{-2x}\cdot sin(x) \, dx=\frac{1}{2}\left[- \frac{1}{2}e^{-2x}\cdot cos(x) \right]_{b}^{a} \end{eqnarray}$ dann : $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \int_a^b \! e^{-2x}\cdot sin(x) \, dx=\frac{1}{2}\left[- \frac{1}{2}e^{-2x}\cdot cos(x) \right]_{b}^{a} \end{eqnarray}$ das jetzt 2 $\begin{eqnarray} \int_a^b \! e^{-2x}\cdot sin(x) \, dx=\left[- \frac{1}{2}e^{-2x}\cdot cos(x) \right]_{b}^{a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_a^b \! e^{-2x}\cdot sin(x) \, dx= - \frac{1}{2}\left[e^{-2x}\cdot cos(x) \right]_{b}^{a} \end{eqnarray*}$ So habe das jetzt mal ganz klein schrittig gemacht. Komm aber auf das selbe ergebnis wie ich auch vorher hatte. Irgendwas mache ich falsch baer ich weiss nicht was.
17.07.2011, 21:43	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist denn 1+ 1/4? Gruß Johnsen
17.07.2011, 21:47	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \alpha = \int_0^{\pi} \operatorname{e}^{-2x} \sin x ~ \dd x = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \operatorname{e}^{-2x} \cos x ~ \dd x = \frac{1}{4} \left( \operatorname{e}^{- 2 \pi} + 1 \right) - \frac{1}{4} \alpha \end{eqnarray}$
17.07.2011, 22:05	math20	Auf diesen Beitrag antworten »
omg naja am ende müsste es dann $\begin{eqnarray} -\frac{1}{5}\left[e^{-2x}cos(x) \right]_{0}^{\pi } =0,2 \end{eqnarray*}$ sein. Stimmt das?^^
17.07.2011, 22:31	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Woher kommt denn das - vor dem 1/5?
17.07.2011, 22:39	math20	Auf diesen Beitrag antworten »
naja auf der linken seite steht ja nun 5/4(...)=... das muss ich ja jetzt durch 5/4 teilen. Komme dann auf folgendes: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! e^{-2x}\cdot sin(x) \, dx = \frac{2}{5} \left[-\frac{1}{2} e^{-2x}\cdot cos(x) \right]_{b}^{a} \end{eqnarray}$ So wenn ich jetzt das -1/2 wieder rausziehe komme ich auf -1/5
17.07.2011, 22:45	Johnsen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt natürlich! Ich hab mich vertan, weil ich die Grenzen scon eingesetzt hatte und dann die Vorzeichen anders sind! Und dein 0,2 (gerundet) stimmt auch!
17.07.2011, 22:53	math20	Auf diesen Beitrag antworten »
ok. Vielen Dank!!

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