Dimension/ Vektorraum mit Polynomen |
| 17.07.2011, 19:29 | MatheBlaBla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Dimension/ Vektorraum mit Polynomen habe einige fragen und stelle sie mal gleich zusammen da sie auch irgendwie zusammen gehören. 1) P ist der Vektorraum der reellwertigen Polynome i) Man gebe eine Basis von P an LsgIdee: B: (1,x^1,x^2,......) Ist das Richtig? ii) Intervall I=[a,b] Welche dim haben C(I), C^k(I) Wie hab ich das überhaupt zu verstehen? Und welche dim wäre dies? 2) Wie zeige ich dass alle reellwertigen > Polynome vom Höchstgrad 10 und mit Nullstelle x=1 einen Vektorraum bilden, das ist doch dann quasi ein Unterraum von P? und das mache ich via Abgeschlossenheit bzgl + und *? Aber was haben die Nullstellen damit zu tun? das ist mir nicht wirklich klar. Hoffe mir kann da jemand Klarheit verschaffen, vielen dank schon mal gruß Flo |
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| 17.07.2011, 19:35 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, zu 1). Ja, das ist die sogenannte Monom-Basis. 
Zu 2). Wie du das zu verstehen hast? Kennst du die Schreibweise nicht? Liegt da das Problem? Es handelt sich um die Menge aller stetigen Funktionen bzw. der k-fach stetig diffbaren Funktionen. Zu 3). Diese Nullstelle könnte die Abgeschlossenheit kaputt machen. Tut sie das? Nimm dir zwei Funktionen, die dort drin liegen, liegt dann auch die Summe darin? |
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| 17.07.2011, 20:08 | MatheBlaBla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu 2) Doch Schreibweise ist mir geläufig, allerdings hab ich das so im Zusammenhang miit Dimensionsberechnung noch nie gesehen und war dementsprechend verwirrt, heißt dass dann jetzt dass die dim unendlich ist? oder ist sie nicht eher bei C(I)=1 und bei C^k=k obwohl mir das irgendwie komisch vorkommt.
Okay hab ich grad getestet summe liegt ebenfalls drinnen, bzgl * geht es auch. Beweis ich dass dann am besten via vllst Ind oder kann ich das auch einfacher machen? |
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| 18.07.2011, 00:30 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Dimension ist tatsächlich unendlich. Warum? Na ja, C(I) = 1 wäre komisch, es müsste eine Funktion geben, mit der du alle anderen Funktionen darstellen könntest. Welche sollte das sein. Denk mal an Funktionen wie Sinus und Kosinus, da braucht man unendlich viele Monome, um die darstellen zu können.
Induktion? Wie möchtest du das denn machen? Arbeite einfach die Axiome ab. Da gibt es überhaupt keine Probleme. Zwei der drei hast du ja schon und die dritte Eigenschaft ... na ja. |
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| 18.07.2011, 15:50 | MatheBlaBla | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja natürlich, hab ich queer gedacht, hatte ein ähnliches Beispiel im Kopf. Gut, dass hat soweit super geklappt. Die Dimension bestimme ich jetzt doch durch grad n+1 demnach wäre n=10 also 11, muss ich da jetzt wegen der Nullstelle noch etwas beachten? |
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| 18.07.2011, 16:31 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, die Nullstelle sorgt nur dafür, dass nicht alle Polynome in diesem Raum sind. An der Dimension allerdings ändert das nichts. |
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