Grenzwert einer Folge

17.07.2011, 21:48

LadyRouge

Grenzwert einer Folge

guten abend smile

komme hier nicht recht weiter :

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } 1/n \sum\limits_{j=1}^n x_{j} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{j=1}^n x_{j} = a \end{eqnarray*}$

irgendwie ist ja vom gefühl her der grenzwert a obwohl 1/n -> 0 geht

aber wie begründe ich das denn korrekt verwirrt

danke schon einmal

17.07.2011, 21:52

Felix

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Zitat:

irgendwie ist ja vom gefühl her der grenzwert a obwohl 1/n -> 0 geht

Ist die Partialsumme im Zähler oder im Nenner.
In beiden fällen konvergiert die Folge jedoch gegen 0, falls $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Warum meinst du, dass es gegen a geht ?

17.07.2011, 22:05

LadyRouge

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oh ja das ist ein produkt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} \times \sum\limits_{j=1}^n x_{j} \end{eqnarray*}$

und ich dachte mir irgendwie das die nullfolge von der summe ausgeglichen wird

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} (x_{1} + x_{2} +....+x_{n} ) \end{eqnarray*}$

kann das irgendwie so gehen ?

17.07.2011, 22:13

ChristianII

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Hallo,

meinstest Du vielleicht, dass die Bedingung lautet:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x_{n} = a \end{eqnarray*}$
anstatt
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^n x_{n} = a \end{eqnarray*}$

Gruß
Christian

17.07.2011, 22:18

LadyRouge

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jaa du hast recht !
was ist denn der unterschied ?

bzw wie lässt es sich das dann mit dem limes klären ?

17.07.2011, 22:52

ChristianII

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Hallo,

in dem ersten Fall, den Du aufgeschrieben hast, ist der Grenzwert der Summe "a", d.h. die Summe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x_{k} \end{eqnarray*}$
kommt dem Grenzwert a beliebig nahe, bewegt sich also innerhalb einer festen Ober- und Untergrenze. (Man sollte dies natürlich entsprechend richtig mathematisch formulieren.)

Wenn nun durch n "geteilt" wird und n gegen "unendlich" geht, muss als Wert der Grenzwertbetrachtung "0" herauskommen; um es etwas unmathematisch auszudrücken: Ein Wert, der sich innerhalb einer festen Grenze bewegt, wird durch einen immer mehr wachsenden Wert geteilt, so dass als Ergebnis also "0" herauskommt.

Wenn nun aber jedes einzelne Glied x(i) der Summe gegen "a" konvergiert, ist es wie von Dir vermutet korrekt, dass als Ergebnis "a" herauskommt.

Zum Nachweis als Vorschlag: Was bedeutet es denn formal ausgedrückt, wenn
x(i) gegen a konvergiert? Aufrund dieser Formulierung setze eine untere Grenze "j" und drücke für alle n >= j die Summe

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x_{k} \end{eqnarray*}$
entsprechend aus.
Nun durch "n" dividieren und entsprechend abschätzen. (Natürlich sollte dies alles in mathematisch korrekter Sprache formuliert sein).

Gruß
Christian

17.07.2011, 23:25

LadyRouge

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ok
also formal heißt das doch ...

sei € > 0 dann

$\begin{eqnarray*} \exists j\in \mathbb N \forall n\geq j<br /> | x_{n} - a | \end{eqnarray*}$
< €

aber wie drücke ich die summe hier dann aus ... komme mit diesem epsilon zeug leider noch nicht wirklich klar unglücklich

17.07.2011, 23:41

LadyRouge

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$\begin{eqnarray*} \exists j\in \mathbb N : | \sum\limits_{k=1}^n x_{k}- a| = | (x_{1}+x_{2}+ ...+ x_{n}) -a | = | (x_{1} -a )+ x_{2}+ ....+ x_{n} | \leq \end{eqnarray*}$ €

kann ich hiermit etwas anfangen ?
oder so ?

$\begin{eqnarray*} \exists j\in \mathbb N : | \sum\limits_{k=1}^n x_{k}- a| = | (x_{1}+x_{2}+ ...+ x_{n}) -a | = | (x_{1} -a )+ (x_{2}-a)+ ....+ (x_{n}-a) | \leq \end{eqnarray*}$ €

und jetzt i-wie jedes

$\begin{eqnarray*} (x_{1} -a ) \end{eqnarray*}$ < € /n abschätzen ?

17.07.2011, 23:58

ChristianII

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Hallo,

hoffe, ich mache Dir keine Angst, aber diese Abschätzungen mithilfe von Epsilon sind eine ganz zentrale Sache (bei Grenzwertbetrachtungen) und begegnet einem daher immer wieder. Ich weiß nicht, wie wichtig Du Mathe brauchst, je nachdem, solltest Du Dir dies dringend aneignen.

Nun zurück zum Vorschlag:
Für alle m >= j gilt dann:
$\begin{eqnarray*} x(m) = a + e \end{eqnarray*}$
wobei hier (e könnte ja auch negativ sein):
$\begin{eqnarray*} | e | = epsilon \end{eqnarray*}$

Dann gilt also auch für alle n > j
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n x_{k} =<br /> \sum\limits_{k=1}^j x_{k} + \sum\limits_{k=j+1}^n x_{k} =<br /> \sum\limits_{k=1}^j x_{k} + (n - j)*a + A, wobei<br /> | A | \leq (n-j) * epsilon \end{eqnarray*}$

Nun dividiere durch n. Beachte, das j als Grenze fest gewählt ist. Zudem kann man epsilon so klein wählen, wie man möchte.

Gruß
Christian

18.07.2011, 00:10

LadyRouge

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ja ich versuche gerade damit klar zu kommen aber klick gemacht hat es irgendwie noch nicht so ganz

und um ehrlich zu sein ist mir dieser ansatz auch mehr als schleierhaft traurig

du spaltest die summe auf und dann ersetzt du die 2te teilsumme durch ein produkt (n-j)* a ok das kann ich mir noch zusammenreimen aber das
+A ?
woher kommt das und woher weiß ich wie ich dann abschätze ?

ich hoffe ich stelle mich nicht zu dumm an verwirrt

18.07.2011, 00:32

ChristianII

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Hallo,

nur nicht aufgeben, das Leben ist oft grausam.

Die Summe wird bei "j" aufgespalten, da die Folgenglieder x(p) für alle
p >= j mithilfe von epsion abschätzbar sind, denn nach unserer Voraussetzung soll ja für ein gegebenes Epsilon für alle p >= j gelten:
$\begin{eqnarray*} | x_{p} - a | < epsilon \end{eqnarray*}$

Für alle x(p) mit p < j gilt diese Abschätzung nicht, daher wird die gesamte Summe bei j "aufgespalten".

Zudem kann jedes Folgenglied x(p) für p >= j um "Epsilon" vom Grenzwert "a" abweichen. Der Ausdruck A ist also die "Addition dieser einzelnen Abweichungen". Da die jeweilige Abweichung für ein Glied x(p) den Betrag Epsilon nicht überschreitet, gilt für die Addition dieser Abweidung A die Abschätzung
$\begin{eqnarray*} | A | \leq (n -j) * epsilon \end{eqnarray*}$

Gruß
Christian

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