Vollständige Induktion (Summe)

18.07.2011, 01:52

PaulDyk

Vollständige Induktion (Summe)

Meine Frage:
Hallo liebes Forum.
Ich hänge bei einer Aufgabe fest weil ich da irgendwas durcheinanderbringe.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (2n-k)(n+2k) = \frac{1}{6}n (n+1) (17n-2) \end{eqnarray*}$

Das was mich verwirrt ist, dass sowohl n als auch k vorkommen.
Ich weiß nicht, wo ich das n = n + 1 überall einsetzen soll.

Meine Ideen:
Die Summe fängt bei 0 an.

Mit n = 0 kommt man auf:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^0 (2n-k)(n+2k) = 0<br /> \frac{1}{6}*0 (0+1) (17*0-2) = 0 \end{eqnarray*}$

Da kann ich ja nichts einsetzen weil die Summe gar nicht durchlaufen wird. Dann wollte ichs mit n = 1 probieren:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^1 (2n-k)(n+2k) = (2*1-0)(1+2*0) + (2*1-1)(1+2*1) = 2*1 + 1*3 = 5 \end{eqnarray*}$

Und auf der rechten Seite haben wir dann:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}*1 (1+1) (17*1-2) = \frac{30}{6} = 5 \end{eqnarray*}$ .
Somit passt das für den Induktionsanfang.

Und nun muss ich den nächsten Schritt machen, also von n auf n + 1
und genau hier bin ich verwirrt. Ich muss ja überall n mit n + 1 ersetzen d.h. dann muss ich diese Summe hier beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} (2(n+1)-k)((n+1)+2k) \end{eqnarray*}$ und davon muss ich nun den letzten Summanden abspalten (dabei setze ich ja für k = n+1 ein)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (2n-k)(n+2k) + [(2(n+1)-(n+1))((n+1)+2(n+1)) ] \end{eqnarray*}$ und normalerweise setze ich nun die Induktionsvoraussetzung an und forme so lange um, bis die linke Seite gleich der rechten Seite mit dem Unterschied, dass auf der rechten Seite auch n mit n + 1 ersetzt wurde:

** $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}n (n+1) (17n-2) + [(2(n+1)-(n+1))((n+1)+2(n+1)) ] \end{eqnarray*}$

Ist das am Ende so richtig und ich muss nur noch auflösen? Oder wo habe ich den Fehler gemacht? Es kommt mir nur komisch vor dass ich sowohl die untere als auch die obere Grenze, also k und n mit n + 1 ersetze.

Ich würde gerne wissen, wie meine Zeile (**) aussieht, damit ich sie anschließend umformen kann.

Viele Grüße und Danke im Voraus.
PaulDyk

18.07.2011, 02:34

PaulDyk

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Ich hab mir das Ganze nochmal durch den Kopf gehen lassen. Theoretisch ist das was ich da mache nicht das Richtige. Ich muss ja nur die obere Grenze mit n + 1 ersetzen. D.h. die n`s in der Formel sind davon nicht betroffen.

Also hätte ich am Ende:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (2n - k)(n + 2k) = \sum\limits_{k=1}^{n} (2n - k)(n + 2k) + [(2n - (n + 1)(n + 2(n + 1)] = \frac{1}{6}n (n + 1)(17n - 2) + [(2n - (n + 1)(n + 2(n + 1)] \end{eqnarray*}$

Nur der Laufindex k wird ja durch n + 1 ersetzt (letzter Summand), alle anderen n`s werden nicht ersetzt.

Ich denke so ist es richtig. Aber ich warte erstmal auf Eure Bestätigung.
... Oder beide Versionen sind falsch smile

Grüße
Paul

18.07.2011, 02:42

frank09

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} (2(n+1)-k)((n+1)+2k) \end{eqnarray*}$

ist nicht gleich

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n (2(n..)-k)((n..)+2k) + [(2(n+1)-(n+1))((n+1)+2(n+1)) ] \end{eqnarray*}$

Wo die Punkte sind muss noch "+1" hin. Du musst einmal ausmultiplizieren:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n [(2n-k)((n+1)+2k) + 2((n+1)+2k)] +... \end{eqnarray*}$
und dann noch ein zweites Mal, um auf den linken Teil der "Ursprungsformel" zu kommen.

18.07.2011, 02:50

PaulDyk

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Danke erstmal für deine Antwort zu dieser späten Stunde.
Hab ich mir gedacht dass ich da beim ersten mal zu viel gemacht habe.
Dann müsste aber mein zweiter Ansatz richtig sein, oder habich da auch was übersehen?

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1}%20(2n%20-%20k)(n%20+%202k)%20=%20\sum\limits_{k=1}^{n}%20(2n%20-%20k)(n%20+%202k)%20+%20[(2n%20-%20(n%20+%201))(n%20+%202(n%20+%201))]%20=%20\frac{1}{6}n%20(n%20+%201)(17n%20-%202)%20+%20[(2n%20-%20(n%20+%201)(n%20+%202(n%20+%201)] \end{eqnarray*}$

(Hatte eben irgendwie einige Klammern verschlammt.)

18.07.2011, 02:52

PaulDyk

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Arg, sorry es ist einfach zu spät. So hier noch einmal mit korrekter Klammerung:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1}%20(2n%20-%20k)(n%20+%202k)%20=%20\sum\limits_{k=1}^{n}%20(2n%20-%20k)(n%20+%202k)%20+%20[(2n%20-%20(n%20+%201))(n%20+%202(n%20+%201))]%20=%20\frac{1}{6}n%20(n%20+%201)(17n%20-%202)%20+%20[(2n%20-%20(n%20+%201))(n%20+%202(n%20+%201))] \end{eqnarray*}$

(Hatte eben irgendwie einige Klammern verschlammt.)

Grüße
Paul

18.07.2011, 03:14

frank09

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Du musst das zeigen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}%20(2(n+1)%20-%20k)((n+1)%20+%202k)%20 \end{eqnarray*}$ =...
und nicht das:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1}%20(2n%20-%20k)(n%20+%202k)%20 \end{eqnarray*}$ =...

Wenn du das Produkt nicht dem Ende des "k" (=n+1) anpasst, zeigst du nicht ,was gefordert ist. Multipliziere aus wie gesagt.

18.07.2011, 12:52

PaulDyk

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Also der Induktionsanfang war richtig.
Nun muss ich also doch für jedes n erstmal n + 1 einsetzen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1}%20(2(n+1)%20-%20k)((n+1)%20+%202k)%20 = \sum\limits_{k=0}^{n+1} (2n + 2 - k)( n + 1 + 2k) = \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2n^2 + 2n + 4kn + 2n + 2 + 4k -kn -k -2k^2 =\sum\limits_{k=0}^{n+1} 2n^2 + 4n + 3kn + 2 + 3k -2k^2 \end{eqnarray*}$

Ausmultipliziert hab ich es und nun? Nun muss ich doch n+1 für k einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2n^2 + 4n + 3kn + 2 + 3k -2k^2 = \sum\limits_{k=0}^n%20(2n-k)(n+2k)%20 + [2n^2 + 4n + 3(n+1)n + 2 + 3(n+1) -2(n+1)^2] \end{eqnarray*}$

und für die Summe setze ich die Ind.Voraussetzung ein, da diese ja gelten soll:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{6}n%20(n+1)%20(17n-2) + [2n^2 + 4n + 3(n+1)n + 2 + 3(n+1) -2(n+1)^2] \end{eqnarray*}$

Ist der Anfang nun richtig so?

Gruß
Paul

18.07.2011, 12:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von PaulDyk
Ausmultipliziert hab ich es und nun? Nun muss ich doch n+1 für k einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2n^2 + 4n + 3kn + 2 + 3k -2k^2 = \sum\limits_{k=0}^n%20(2n-k)(n+2k)%20 + [2n^2 + 4n + 3(n+1)n + 2 + 3(n+1) -2(n+1)^2] \end{eqnarray*}$

Hier wird auf geheimnisvolle Weise aus dem Summationsterm $\begin{eqnarray*} 2n^2 + 4n + 3kn + 2 + 3k - 2k^2 \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} (2n-k)(n+2k) \end{eqnarray*}$ . unglücklich

18.07.2011, 13:19

PaulDyk

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Wie meinst du das? Also wenn ich

$\begin{eqnarray*} (2n-k)(n+2k) \end{eqnarray*}$ ausrechne komme ich auf $\begin{eqnarray*} 2n^2 + 4kn - kn -2k^2 = 2n^2 + 3kn - 2k^2 \neq 2n^2%20+%204n%20+%203kn%20+%202%20+%203k%20%20-%202k^2 \end{eqnarray*}$

..
..

Ach jetzt versteh ich was du meinst. Nun ja ich muss ja die Summe von 0 bis n+1 ausrechnen. Und das ist ja gleichzusetzen mit der Summe von 0 bis n + dem letzten Summanden also von n + 1 bis n + 1. Und dann kann ich nämlich diese Summe von 0 bis n durch die rechte Seite ersetzen (Induktionsvoraussetzung).

Gruß
Paul

18.07.2011, 13:42

klarsoweit

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Du kannst die Induktionsvoraussetzung nur dann verwenden, wenn du den gleichen Summenterm hast. Hast du hier aber nicht.

18.07.2011, 13:47

PaulDyk

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Wie kann ich die Aufgabe denn sonst lösen?
Bis jetzt hatten wir immer nur Aufgaben mit diesem "Standardschema".

18.07.2011, 13:53

klarsoweit

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Das ist eben die Lernleistung, die man in Mathe erbringen muß, daß man nach Auswegen sucht, wenn man eben mal kein Standardschema anwenden kann. smile

Splitte die Summe auf:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} (2n^2 + 4n + 3kn + 2 + 3k - 2k^2) = \sum\limits_{k=0}^{n+1} (2n^2 + 3kn - 2k^2) + \sum\limits_{k=0}^{n+1} (4n + 2 + 3k) \end{eqnarray*}$

18.07.2011, 14:02

PaulDyk

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Hmh stimmt. Na gut, dann probier ich das mal smile

Ich kann ja generell diese Summe in 6 Teilsummen aufspliten, jede Summe dann einzeln bestimmen und dann umformen, so dass ich auf meine rechte Seite komme. Dann müsste ja das Gleiche dabei rauskommen.

Dann wäre meine erste Teilsumme z.B.:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} 2n^2 = 2 \sum\limits_{k=0}^{n+1} n^2 = 2 (\sum\limits_{k=0}^{n} n^2 + \sum\limits_{k=n+1}^{n+1} n^2) = 2 (n^2 * (n + 1) + (n+1)^2) \end{eqnarray*}$ . Ich löse dann jede Teilsumme (3kn -2k² +3n + 2 +3k) so auf und forme dann um.

DANN passt das doch hoffentlich Big Laugh

18.07.2011, 14:12

klarsoweit

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Heidienei, nee. unglücklich

Jetzt habe ich dir das doch schon so vorgekaut, daß du auf die erste Summe von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n+1} (2n^2 + 3kn - 2k^2) + \sum\limits_{k=0}^{n+1} (4n + 2 + 3k) \end{eqnarray*}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst, wenn du vorher noch den letzten Summanden rausziehst.

18.07.2011, 14:18

PaulDyk

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Oh man jetzt seh ichs auch. Ok ich versteh was du meinst mit "das muss man anwenden können". Stimmt, nun kann ich die Induktionsvoraussetzung einsetzen.
Ich hab die Aufgabe eben nochmal ohne vollständige Induktion gelöst da muss ich auch die Summen aufsplitten..deswegen hab ich da die Ideen vermischt.

Dann setze ich mich jetzt nochmal ran. Danke, hast mir reichlich geholfen.

Gruß
Paul

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