Anzahl Elemente pro Differenz von Permutation

18.07.2011, 02:59	JulesV	Auf diesen Beitrag antworten »
Anzahl Elemente pro Differenz von Permutation Hallo Zusammen! leider stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch. Nunja "etwas" ist in diesem Zusammenhang stark untertrieben. Mein Problem sieht auf den ersten Blick ziemlich simpel aus und trotzdem bekomme ich es nicht auf die Reihe... Ich hoffe ihr könnte mir da vllt. helfen. Leider habe ich auch keinen Ansatz zum Vorgehen und kann dieses neue Thema nicht in das richtige Unterforum einordnen. Mein Problem beschreibt sich wie folgt (hoffentlich korrekt so): Bei der Betrachtung von n-stelligen Tupeln folgender Art $\begin{eqnarray} (a,b,c) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a \in M_{A}, b \in M_{B}, c \in M_{C} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{A} = \left\{'A','B'\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{B} = \left\{'C','D'\right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M_{C} = \left\{'E','F','G'\right\} \end{eqnarray}$ 'A',...'G' sind Symbole und könnten auch beliebige Zahlen/Zeichen sein. Wäre die Menge aller Tupel dieser Art (genannt $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} H = M_{A} \times M_{B} \times M_{C} \end{eqnarray}$ Alle Elemente von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ wären in diesem Beispiel folgende $\begin{eqnarray} <br /> H =<br /> \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} <br /> (A,C,E),<br /> (A,C,F),<br /> (A,C,G),<br /> (A,D,E),<br /> (A,D,F),<br /> (A,D,G),<br /> (B,C,E),<br /> (B,C,F),<br /> (B,C,G),<br /> (B,D,E),<br /> (B,D,F),<br /> (B,D,G)<br /> \end{eqnarray}$ } (leider hat das im Gegensatz zum Formeleditor hier mit den '{'-Klammern nicht funktioniert) Die Anzahl der Elemente von $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ wäre $\begin{eqnarray} \|H\| = \|M_{A}\| \|M_{B}\| * \|M_{C}\| \end{eqnarray}$ Soweit zum "Vorspiel". Nun definiere ich eine Funktion (genannt $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} H \times H \rightarrow<br /> ~\mathbb R \end{eqnarray}$ ) welche die Anzahl der unterschiedlichen Stellen eines Tupels zu einem anderen berechnet. Bsp: 1. $\begin{eqnarray} \Delta((A,C,E),(A,C,E)) = 0 \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} \Delta((A,C,E),(B,C,F)) = 2 \end{eqnarray}$ Nun mache ich folgendes: Ich wähle einen Tupel aus $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ als ersten "input" für die Funktion und berechne mit dieser die Abstände zu allen anderen Elemente aus $\begin{eqnarray} H \end{eqnarray}$ . Bsp: Als ersten Input der Funktion $\begin{eqnarray} (A,C,E) \end{eqnarray}$ gewählt. (snb: Wie nennt sich das von mir "Input" genannte eigentlich?)* (A,C,E): 0 (A,C,F): 1 (A,C,G): 1 (A,D,E): 1 (A,D,F): 2 (A,D,G): 2 (B,C,E): 1 (B,C,F): 2 (B,C,G): 2 (B,D,E): 2 (B,D,F): 3 (B,D,G): 3 Die Zahl nach dem Doppelpunkt ist die Anzahl der unterschiedlichen Stellen, das Ergebis der Funktion. Gruppiert ist das Ergebnis folgendes: D0: In 0 Stellen unterscheiden sich 1 Element (s.o; Wenn beide "inputs" gleich sind) D1: In 1 Stelle unterscheiden sich 4 Elemente D2: In 2 Stellen unterscheiden sich 5 Elemente D3: In 3 Stellen unterscheiden sich 2 Elemente Obwohl es mich nicht erstaunen sollte: Ist die Anzahl der Elemente pro "Differenz-Gruppe" (Dx) für jeden als ersten Input gewählten Tupel gleich. Es erstaunt mich trotzdem und beweisen kann ich es nicht. Die Elemente die sich in dieser "Differenz-Gruppe" sind natürlich vom gewählten Tupel abhängig. Nun meine Frage. Endlich! Habt ihr irgend einen Ansatz wie sich die Anzahl der Elemente pro Differenzgruppe (ohne die vollständige Auf- und Abzählung) berechnen lässt? Und wieviele Differenzgruppen es gibt? Auch wenn ihr mir vllt. nicht helfen könnt, trotzdem danke fürs durchlesen. Hoffe ich habe keine Info vergessen. Ich habe ein simples Java-Programm geschrieben sollte jemand Daten brauchen. Viele Grüße JulesV
18.07.2011, 23:34	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man mal definiert $\begin{eqnarray} a=\|M_A\|-1 <br /> b=\|M_B\|-1<br /> c=\|M_C\|-1 \end{eqnarray}$ dann gilt ja offensichtlich $\begin{eqnarray} D1=a+b+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} D2=ab+ac+bc \end{eqnarray}$ usw. D.h. du hältst jeweils 2 (bei D1) oder 1 (bei D2) Stellen fest, und lässt diejenigen, die sich unterscheiden sollen, alle Werte durchlaufen (Anzahl a,b oder c) Anzahl der Differenzgruppen entspricht natürlich der Stellenzahl (ohne D0)

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