Konvergenz von Potenzreihe (Konvergenzradius)

15.07.2011, 16:35

Wilma

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty x^{5n+1}/(2^n+1) \end{eqnarray*}$ betrachte, und ich möchte den Konvergenzradius mit einer geeigneten Substitution bestimmen. Wie gehe ich mit der +1 im Exponenten um??? Normalerweise würde ich $\begin{eqnarray*} y=x^{5} \end{eqnarray*}$ setzen, aber was mache ich jetzt mit der 1??? Kann so ja eig nicht funktionieren...

Tipps???

15.07.2011, 16:40

cybersepp

Auf diesen Beitrag antworten »

soll der Beitrag mir in meinem Fall weiterhelfen? Wenn tatsächlich ja (was ich nicht glaube), dann versteh ich den Zusammenhang überhaupt nicht...

15.07.2011, 16:43

Wilma

Auf diesen Beitrag antworten »

das nicht, aber im endeffekt ist es ja so ziemlich das gleiche Thema, von daher dachte ich, dass ich es hier einfüg statt n neuen thread aufzumachen...

18.07.2011, 08:43

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Wilma
Normalerweise würde ich $\begin{eqnarray*} y=x^{5} \end{eqnarray*}$ setzen, aber was mache ich jetzt mit der 1??? Kann so ja eig nicht funktionieren...

Wie wäre es mit einer einfachen Anwendung der Potenzgesetze?

$\begin{eqnarray*} x^{5n+1} = x \cdot x^{5n} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Den einzelnen Faktor x kannst du vor die Summe ziehen.

18.07.2011, 09:46

Jensen23

Auf diesen Beitrag antworten »

kommt da $\begin{eqnarray*} R = 2^{\frac{1}{5}} \end{eqnarray*}$ raus? Ich habe eine unsaubere
Rechnung. Wäre schön, wenn das jemand sauber erklären könnte Freude

Freude

Freude

18.07.2011, 09:52

Jensen23

Auf diesen Beitrag antworten »

alles falsch, ich nehme alles zurück Hammer

Hammer

Anzeige

18.07.2011, 09:59

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jensen23
kommt da $\begin{eqnarray*} R = 2^{\frac{1}{5}} \end{eqnarray*}$ raus?

Also so falsch scheint mir das nicht zu sein. smile

smile

18.07.2011, 10:17

Jensen23

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt, ich wurde etwas verunsichert, weil ich im Nachhinein
gedacht habe, dass ich die Formel nach Cauchy-Hadamard

$\begin{eqnarray*} R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{| a_n |} } \end{eqnarray*}$ .

Das habe ich nicht. Geht wohl auch nicht, vor allem wegen dem $\begin{eqnarray*} x^{5n+1} \end{eqnarray*}$ .

Was ich gemacht habe ist, das Wurzelkriterium direkt auf
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2^n+1} x^{5n+1} \end{eqnarray*}$ angewandt.

18.07.2011, 10:30

Jensen23

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir hierbei jmd helfen?

Es geht um die Potenzreihe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} a_n = \left\{\begin{array}{cl}\frac{n}{2n}, & \mbox{falls }n \mbox{ ungerade}\\ \\ \frac{1}{n3^n}, & \mbox{sonst}\end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Wie geht man damit am besten um? Die besagte Formel von Cauchy-Hadamard
geht ja nicht wirklich, stimmts?

Ich hätte jetzt zum Quotientenkriterium gegriffen und es direkt auf
$\begin{eqnarray*} \widetilde{a}_n = a_n z^n \end{eqnarray*}$ angewandt.

OBdA sei n gerade: Ich betrachte dann
$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{(n+1) 3^{n+1}} \frac{2^n}{n} \right) |z| \end{eqnarray*}$

Das konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

Würdet ihr das auch so machen?

MfG

18.07.2011, 11:04

allahahbarpingok

Auf diesen Beitrag antworten »

Lang ists her. Aber ich erkenne bei dir eine Potenzreihe. Ich wende also das Wurzelkriterium auf $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ an. Da n als Potenz in der Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ vorkommt ist es keine so dumme Wahl. Nun bilde ich den Grenzwert mit dem Wurzelkriterium von beiden Folgen.

Ich erhalte einmal: $\begin{eqnarray*} r_1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Nun den lim sup verwenden und man kommt auf $\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ Jetzt kann man noch Konvergenzradius bestimmen.

edit: Ich hatte bei der Folge $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{n}{2^n} \end{eqnarray*}$ gesehen. Aber das Vorgehen änder sich nicht.

eidt: Rofl, habe ich richtig geraten ;D

18.07.2011, 11:09

Jensen23

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach so kann man das auch machen! Ich dummerle Tanzen

Tanzen

Sorry, es ist $\begin{eqnarray*} \frac{n}{2^n} \end{eqnarray*}$ in der Fallunterscheidung!

Geht meins auch mit Quotientenkriterium?

18.07.2011, 11:09

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Jensen23
Geht wohl auch nicht, vor allem wegen dem $\begin{eqnarray*} x^{5n+1} \end{eqnarray*}$ .

Das geht sehr wohl, wenn du einen Faktor x rausziehst und dann deine vorgeschlagene Substitution y = x^5 machst.

Zitat:

Original von allahahbarpingok
Ich erhalte einmal: $\begin{eqnarray*} r_1 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_2 = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Was sollen das jetzt sein? Die Konvergenzradien? Wenn ja, wäre das falsch.

Zitat:

Original von Jensen23
Geht meins auch mit Quotientenkriterium?

Ja, aber nicht so, wie du das gemacht hast. Du mußt dir schon das Supremum anschauen.

18.07.2011, 11:11

allahahbarpingok

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es handelt sich um die Grenzwerte, wenn man auf die Teilfolgen jeweils das Wurzelkriterium awendet.

18.07.2011, 11:13

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, die Kennzeichnung der Grenzwerte mit r_... würde ich dann nicht nehmen, weil dies durchaus verwirren kann.

18.07.2011, 12:57

Jensen23

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ja, aber nicht so, wie du das gemacht hast. Du mußt dir schon das Supremum anschauen.

Meinst du limsup statt lim?

18.07.2011, 13:04

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Außerdem kannst du $\begin{eqnarray*} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$ nicht einfach nur für gerade n betrachten. Dieses "OBdA" wird gerne gebraucht, aber man sollte auch einen Satz sagen, wieso die Allgemeinheit nicht eingeschränkt wird.

18.07.2011, 13:25

Jensen23

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Sache ist doch ,dass der Grenzwert angenommen ist, also limsup = lim.

Und ich würde mal behaupten, n ungerade zu betrachten liefert das gleiche.

Aber die Idee von allahahbarpingok gefällt mir sehr gut!

Gott

Gott

Gott

Das verwende ich in Zukunft Freude

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »