Fourierreihenentwicklung

18.07.2011, 13:17

teddds

Fourierreihenentwicklung

Hallo,
ich versuche gerade eine relativ einfache Fourierreihenentwicklung nachzuvollziehen. Allerdings hapert es schon am Anfang.
Zunächst einmal die Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$
Das zu untersuchenden Intervall lautet: $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq \pi \end{eqnarray*}$
Die Funktion ist von gerader Natur da Y-Achsensymmetrisch und darausfolgt das $\begin{eqnarray*} b_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt will ich also den $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ Koeffizient bestimmen.
Dazu habe ich die Formel: $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{2}{p}*\int_0^p \! f(x) * cos(\frac{n*\pi}{p}*x) \, dx \end{eqnarray*}$
in meinem Fall lautet Sie also: $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi}*\int_0^\pi \! x^2 * cos(n*x) \, dx \end{eqnarray*}$
Jetzt löse ich das Integral mittels zweifacher partieller Ableitung:
$\begin{eqnarray*} \left[sin(n*x)*\frac{1}{n}*x^2 \right]_{0}^{\pi} - \int_0^\pi \! sin(n*x)*\frac{1}{n}*2x \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[sin(n*x)*\frac{1}{n}*x^2 \right]_{0}^{\pi} - \frac{2}{n}\left[\left[-cos(n*x)*\frac{1}{n}*x \right]_{0}^{\pi}-(-\frac{1}{n})\int_0^\pi \! cos(nx)\, dx \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left[sin(n*x)*\frac{1}{n}*x^2 \right]_{0}^{\pi} - \frac{2}{n}\left[\left[-cos(n*x)*\frac{1}{n}*x \right]_{0}^{\pi}-(-\frac{1}{n})\left[sin(n*x)*\frac{1}{n} \right]_{0}^{\pi} \right] \end{eqnarray*}$

Jetzt alle Grenzen einfügen und zusammenfassen:
$\begin{eqnarray*} \left[sin(n*x)*\frac{1}{n}*x^2 \right]_{0}^{\pi} - \frac{2}{n}\left[-\frac{cos(n*\pi)}{n} +\frac{sin(n*\pi)}{n^2} \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(n*\pi)*\pi^2}{n} + \frac{2*cos(n*\pi)}{n^2} -\frac{2*sin(n*\pi)}{n^3} \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte man noch den $\begin{eqnarray*} sin(n*\pi) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac {1}{n} \end{eqnarray*}$ ausklammern, aber lassen wir es erstmal dabei.

1. Frage ist das bishier soweit richtig? Wie geht das jetzt weiter?
Ich habe in der Formelsammlung von unserer Uni folgenden Ansatz endeckt:
$\begin{eqnarray*} \frac{a_{0}}{2} + \sum\limits_{n=1}^\infty \left[a_{n} *cos(\frac{n*\pi}{p}*x)+b_{n}*sin(\frac{n*\pi}{p}*x) \right] \end{eqnarray*}$
Allerdings bekomme ich nicht die Reihe raus die wir in unserem Hefter stehen haben wenn ich dort $\begin{eqnarray*} b_{n}=0 \end{eqnarray*}$ und mein $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ von eben einsetze

2. Wird $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ immer mit folgender Formel bestimmt?
$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{1}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} \! f(t) \, dt \end{eqnarray*}$
Wobei $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ meine Periode ist. Also würde die Formel für mich so lauten:
$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \! x^2 \, dx \end{eqnarray*}$
Wonach $\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{1}{3}*\pi^2 \end{eqnarray*}$ sein müsste? Ist das so richtig?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen...
Ich versteh das ganze nicht so richtig.

Vielen Dank schon mal für die Mühen!

18.07.2011, 13:50

Steffen Bühler

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RE: Fourierreihenentwicklung

Zitat:

Original von teddds

$\begin{eqnarray*} \frac{sin(n*\pi)*\pi^2}{n} + \frac{2*cos(n*\pi)}{n^2} -\frac{2*sin(n*\pi)}{n^3} \end{eqnarray*}$

Gut. Überleg jetzt, was $\begin{eqnarray*} \sin (n \cdot \pi) \end{eqnarray*}$ ist und wie sich $\begin{eqnarray*} \cos (n \cdot \pi) \end{eqnarray*}$ verhält.

Zitat:

Wonach $\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{1}{3}*\pi^2 \end{eqnarray*}$ sein müsste? Ist das so richtig?

Ja.

Viele Grüße
Steffen

18.07.2011, 14:17

teddds

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RE: Fourierreihenentwicklung
Vielen Dank für die schnelle Hilfe!

$\begin{eqnarray*} sin(n*\pi) \end{eqnarray*}$ :
Jede halbe Periode eines Sinus ergibt 0.

$\begin{eqnarray*} cos(n*\pi) \end{eqnarray*}$ :
Jede halbe Periode des Cosinus ergibt 1 bzw. -1

Demnach wird der gesamte Term zu:
$\begin{eqnarray*} \pm\frac{2}{n^2} \end{eqnarray*}$

Also lautet demnach die Fourierreihe:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}*\pi^2}{2} + \sum\limits_{n=1}^\infty \left[\pm\frac{2}{n^2}*cos(n*x)\right] \end{eqnarray*}$

Ist das so richtig?

Liebe grüße

18.07.2011, 14:21

Steffen Bühler

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RE: Fourierreihenentwicklung

Zitat:

Original von teddds
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \left[\pm\frac{2}{n^2}*cos(n*x)\right] \end{eqnarray*}$

Es ist klar, was Du meinst, aber sehr mathematisch sieht das nicht aus, das wirst Du zugeben.

Du kennst den Ausdruck $\begin{eqnarray*} (-1)^n \end{eqnarray*}$ ?

Viele Grüße
Steffen

18.07.2011, 15:02

teddds

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RE: Fourierreihenentwicklung
Da hast du natürlich Recht smile

Also ist das Endergebnis:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{3}*\pi^2}{2} + \sum\limits_{n=1}^\infty \left[(-1)^n*\frac{2}{n^2}*cos(n*x)\right] \end{eqnarray*}$

Komisch ist nur das ich in unserem Hefter als Endergebnis das hier stehen habe:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{\pi^2}{3}+4(-cos(x)+\frac{1}{4}*cos(2x)-\frac{1}{9}*cos(3x)+ ... ) \end{eqnarray*}$

Und wenn ich meine Reihe von oben entwickle bekomme ich:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{\frac{1}{3}*\pi^2}{2}-cos(x)+\frac{1}{2}*cos(2x)-\frac{2}{9}*cos(3x)+ ... ) \end{eqnarray*}$

Und das ist ja nicht dasselbe, oder? Woher kommt der Unterschied?
Hab ich doch irgentwo noch einen Fehler drinne?
Liebe Grüße

EDIT:
Ich sehe gerade auch das wir im Hefter $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{4}{n^2}*(-1)^n \end{eqnarray*}$ heraus hatten.

18.07.2011, 15:26

teddds

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hab den Fehler gefunden!
Hatte vergessen beim Cos das Pi mitzunehmen und mit dem Anfangsfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren. Danach ergibt sich der $\begin{eqnarray*} a_{n} = \frac{4}{n^2}*(-1)^n \end{eqnarray*}$ .

Hat sich also doch noch alles zum gute gewandelt!

Bleibt nur noch die Frage nach dem unterschiedlichen $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ .
Im hefter haben wir $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ so berechnet:
$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi \! x^2 \, dx \end{eqnarray*}$ .

Warum haben wir dort im Nenner eine 2 stehen? Ich dachte die Difinition sei:

$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{1}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ .
Vielen Danke für deine Hilfe!

Liebe Grüße

18.07.2011, 15:37

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von teddds
Hatte vergessen beim Cos das Pi mitzunehmen und mit dem Anfangsfaktor $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi} \end{eqnarray*}$ zu multiplizieren.

Hab ich auch gerade gesehen. Du warst schneller.

Zitat:

Vielen Danke für deine Hilfe!

Bitte sehr,
Steffen

18.07.2011, 15:45

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von teddds
Warum haben wir dort im Nenner eine 2 stehen?

Du meinst im Zähler? Weil die Fourierreihe verwirrenderweise mit $\begin{eqnarray*} \frac {a_0}{2} \end{eqnarray*}$ beginnt. Da oben steht aber nur $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ .

Viele Grüße
Steffen

EDIT: Post bereinigt.

18.07.2011, 15:56

teddds

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Ich bin schon total verwirrt. Jetzt vertausch ich auch noch Zähler und Nenner smile

Gemeint war natürlich der Zähler.

Zitat:

Weil die Fourierreihe verwirrenderweise mit $\begin{eqnarray*} \frac {a_0}{2} \end{eqnarray*}$ beginnt. Da oben steht aber nur $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ .

Das heißt wenn ich die Fourierreihe am Anfang mit $\begin{eqnarray*} \frac {a_0}{2} \end{eqnarray*}$ definiere, muss ich die Definition von $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ so anpassen:
$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{2}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ .

Wenn ich allerdings sage meine Fourierreihe ist am Anfang definiert mit nur $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ . Dann könnte ich diese Difinition für $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ verwenden:
$\begin{eqnarray*} a_{0} = \frac{1}{T}\int_\frac{-T}{2}^\frac{T}{2} \! f(x) \, dx \end{eqnarray*}$ .

Kann man das so sagen?
Damit ich mir das besser vorstellen / merken kann. Wissen Sie warum das So ist? Wieso es da unterschiedliche Definitionen gibt?

18.07.2011, 16:33

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von teddds
Wenn ich allerdings sage meine Fourierreihe ist am Anfang definiert mit nur $\begin{eqnarray*} a_{0} \end{eqnarray*}$ .

Solltest Du aber nicht sagen. Es ist nun mal nur $\begin{eqnarray*} \frac {a_0}{2} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wissen Sie warum das So ist? Wieso es da unterschiedliche Definitionen gibt?

Wenn man die Fourierreihe komplex darstellt, läuft der Index von minus bis plus unendlich. Je eine negative und eine positive Frequenz ergeben dann zusammen eine Sinus- bzw. Cosinusschwingung. Ich weiß noch, wie unser Dozent vorne seine Arme schwingen ließ, einen linksrum, einen rechtsrum.

Für die Frequenz Null paßt dann auch alles, im Komplexen muß nicht halbiert werden! Heißt dann natürlich auch $\begin{eqnarray*} c_0 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac {a_0}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wird die Formel nun trigonometrisch ausgedrückt, läßt man die negativen Frequenzen weg. Dies geht auch gut, solange man nicht zur Null kommt, da ist bildlich gesprochen der "negative" Partner nicht wegzukriegen und die Amplitude verdoppelt sich.

Dies war jetzt auch mal sehr unmathematisch ausgedrückt, aber mir hat diese Anschauungsweise damals sehr geholfen.

Viele Grüße
Steffen

18.07.2011, 16:42

teddds

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Zitat:

Danke für die Erklärung. Jetzt wird mir langsam alles klar und der Nebel lichtet sich!
Ich wünschte unser Mathedozent hätte das auch so erklärt.

Vielen Danke nochmal für alles.
Schönen Montag wünsche ich Ihnen noch.

Liebe Grüße

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