exponentieller zerfall - vergleich

17.12.2006, 17:28

krissi

exponentieller zerfall - vergleich

hallo, ich hab ne echt dringenende frage:
aufgabe:
Die Bevölkerung eines Staates wachse jährlich um 0,9% und habe von anfang 1985 bis anfang 1990 um 3 Mio zugenommen.
a) Bestimmte die wachstumsfunktion und die wachstumsgeschwindigkeit.
b) wann ist die einwohnerzahl ebenso groß wie die eines Landes, das 81 Mio Einwohner Anfang 1990 hatte, aber nur eine halb so große Wachstumsgeschwindigkeit aufwies?

also, a ist einfach, das hab ich gemacht und rausbekommen:
$\begin{eqnarray*} N(t)= 666666,67 \cdot e^{0,34 \cdot t} \end{eqnarray*}$
und die Geschwindigkeit:

$\begin{eqnarray*} N'(t)= 0,34 \cdot 666666,67 \cdot e^{0,34 \cdot t} \end{eqnarray*}$
aber bei der b komm ich einfach nicht weiter unglücklich

Büdde helft mir

liebe grüße Kristina

17.12.2006, 17:30

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Stell doch erst einmal die Wachstumsfunktion dieses anderen Landes auf! Wie sieht die aus?

Und eine Frage: Zum Zeitpunkt t=0, da sind wir im Jahr 1985 bei der anderen Funktion oder?

Und noch eine Frage: Wie bist du auf deine Funktion in a) gekommen - ich bekomme etwas anderes heraus verwirrt

Vielleicht habe ich mich verrechnet?

17.12.2006, 17:53

krissi

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tja, also das mit dem zeitpunkt t= 0 hab ich mich auch gefragt.

also ich bin auf die funktion gekommen, indem ich
erstmal die grunbevölkerung von 1985 ausgerechnet habe:
$\begin{eqnarray*} \frac{3000000}{5}=0,9\cdot N_0 \end{eqnarray*}$
da kam dann ungefähr 666666,67 als grundbevölkerung raus. dann habe ich k ausgerechnet mit t = 5:
$\begin{eqnarray*} N_0 \cdot e^{k \cdot 5} = N_0 + 3000000 \end{eqnarray*}$
da kam bei mir für k ungefähr 0,34 raus.

17.12.2006, 21:28

krissi

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bitte helft mir Gott

18.12.2006, 08:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von krissi
also ich bin auf die funktion gekommen, indem ich
erstmal die grunbevölkerung von 1985 ausgerechnet habe:
$\begin{eqnarray*} \frac{3000000}{5}=0,9\cdot N_0 \end{eqnarray*}$

Wie bist du bloß auf diese Formel gekommen? verwirrt

Zitat:

Original von krissi
dann habe ich k ausgerechnet mit t = 5:
$\begin{eqnarray*} N_0 \cdot e^{k \cdot 5} = N_0 + 3000000 \end{eqnarray*}$
da kam bei mir für k ungefähr 0,34 raus.

Die Formel ist prinzipiell richtig. Du mußt aber erst das k bestimmen. Und das k bekommst du direkt aus der Angabe "jährliches Wachstum um 0,9%".

18.12.2006, 13:36

Krissi

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also auf die formel bin ich gekommen, da ich dachte, wenn sie in fünf jahren 3000000 Einwohner dazubekommen, dann kann man ja sagen, dass sie pro jahr $\begin{eqnarray*} \frac{3000000}{5} \end{eqnarray*}$ Einwohner bekommen. Also muss die Zahl 0,9% von der grundmenge sein

und zu deiner zweiten frage, ist ka dann 0,9 oder 0,0009, und wie bestimmte ich denn dann die grundmenge mit meiner formel? verwirrt

18.12.2006, 13:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Krissi
also auf die formel bin ich gekommen, da ich dachte, wenn sie in fünf jahren 3000000 Einwohner dazubekommen, dann kann man ja sagen, dass sie pro jahr $\begin{eqnarray*} \frac{3000000}{5} \end{eqnarray*}$ Einwohner bekommen.(

Da würdest du aber davon ausgehen, daß in jedem Jahr die gleiche Zahl von Einwohnern hinzukommt. Und das würde einem exponentiellen Wachstum widersprechen.

Zitat:

Original von Krissi
und zu deiner zweiten frage, ist ka dann 0,9 oder 0,0009, und wie bestimmte ich denn dann die grundmenge mit meiner formel? verwirrt

Die jährliche Zunahme beträgt 0,9%. Welcher Wachstumsfaktor ergibt sich daraus, sprich: mit welchem Faktor muß man die Vorjahreszahl multiplizieren, um auf die aktuelle Einwohnerzahl zu kommen?

18.12.2006, 14:28

krissi

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also, das mit der gleichen zahl jedes jahr ist mir auch gerade klar geworden ^^

aber wegen k bin ich mir noch unschlüssig, meinst du dann, cih sollte:
$\begin{eqnarray*} N(5)=N_0 \cdot e^{k \cdot t} \end{eqnarray*}$ mit k=0,9 und t=5 oder einfach ohne e:
$\begin{eqnarray*} N(5)=N_0 \cdot 1,009^{5} \end{eqnarray*}$
aber wenn cih das so mache, wie bekomme ich dann $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ raus?? wenn ich die die funktion gleich $\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ +3000000 setzte, komme cih auch net mehr weiter.... unglücklich

sorry, ich steh grad echt aufm schlauch

18.12.2006, 14:59

klarsoweit

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Zitat:

Original von krissi
aber wegen k bin ich mir noch unschlüssig, meinst du dann, cih sollte:
$\begin{eqnarray*} N(5)=N_0 \cdot e^{k \cdot t} \end{eqnarray*}$ mit k=0,9 und t=5

Prinzipiell kannst du die e-Funktion verwenden. Dann muß du aber das k so wählen, daß e^k deinem Wachstumsfaktor 1,009 entspricht. Irgendwie gehst du da völlig planlos vor nach dem Motto:
Hollerie ich brauch ein k, ja was nehmen wir denn da? Ach da steht ja was von 0,9%. Da nehmen wir einfach mal k=0,9, das wird schon stimmen.

Zitat:

Original von krissi
... oder einfach ohne e:
$\begin{eqnarray*} N(5)=N_0 \cdot 1,009^{5} \end{eqnarray*}$

Das ist schon besser. Nun wissen wir, daß $\begin{eqnarray*} N(5) = N_0 +3000000 \end{eqnarray*}$ ist. Da wirst du das doch nach N_0 auflösen können?

18.12.2006, 15:23

Krissi

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hm, also, wenn ich das jetzt so mache komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac{3000000}{1,009^{5}}=N_0 \end{eqnarray*}$ und meine formel für die bevölkerung ist dann also: $\begin{eqnarray*} N(t)=N_0 \cdot 1,009^{t} \end{eqnarray*}$

danke für deine hilfe smile

aber mein eigentliches problem war ja nun die nummer b von der aufgabe, wo es heißt: wann ist die einwohnerzahl ebenso groß wie die eines Landes, das 81 Mio Einwohner Anfang 1990 hatte, aber nur eine halb so große Wachstumsgeschwindigkeit aufwies?

wenn cih die formel von oben ableite, müsste ich doch dann die wachstumsgeschwindigkeit haben, nur dass die ja dann keine variable t mehr enthält, da das beim ableiten ja wegfällt unglücklich

manno, ich versteh nix mehr traurig

18.12.2006, 15:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Krissi
hm, also, wenn ich das jetzt so mache komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \frac{3000000}{1,009^{5}}=N_0 \end{eqnarray*}$

Eins nach dem anderen. Zunächst ist obiges leider falsch. Denn dann wäre N(5) = 3000000. Davon ist aber nicht die Rede. Es ist N(5) - N_0 = 3000000. Da $\begin{eqnarray*} N(5)=N_0 \cdot 1,009^{5} \end{eqnarray*}$ ist, kannst du das einsetzen und nach N_0 auflösen.

Um das andere kümmern wir uns später.

18.12.2006, 15:52

krissi

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nix kann ich
$\begin{eqnarray*} N_0 \cdot 1,009^{5} -N_0 = 3000000 \end{eqnarray*}$ , dann ausklammern
$\begin{eqnarray*} N_0 \cdot (1,009^{5}-1) = 30000000 \end{eqnarray*}$ und dann durch die klammer teilen?!
$\begin{eqnarray*} N_0 =\frac{3000000}{1,009^{5}-1} \end{eqnarray*}$
also ist N_0 = 65477418 ??
verwirrt

18.12.2006, 16:05

klarsoweit

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Die Formel mit dem Bruch stimmt, die Zahl habe ich nicht nachgerechnet.

Zu dem nächsten: wenn etwas halb so schnell wächst, braucht es für denselben Wachstumsfaktor die doppelte Zeit. Wie lautet da also die Wachstumsfunktion?

18.12.2006, 16:30

krissi

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also, meinst du dann einfach
$\begin{eqnarray*} N(t)=N_0 \cdot 1,009^{2t} \end{eqnarray*}$
oder? weil so verdoppelt sich ja die zeit, aber was ist dann N_0?? 81 Mio?? verwirrt

18.12.2006, 19:39

klarsoweit

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Zitat:

Original von krissi
also, meinst du dann einfach
$\begin{eqnarray*} N(t)=N_0 \cdot 1,009^{2t} \end{eqnarray*}$
oder? weil so verdoppelt sich ja die zeit

Das hatte ich befürchtet. Ja, so verdoppelt sich die Zeit, aber dadurch wird auch das Wachstum schneller. Denn jetzt wird ja pro Jahr mit dem Faktor 1,009² multipliziert. Du darfst also das t nicht mit 2 multiplizieren, sondern ...

Prinzipiell wäre das N_0 81 Mio. Aber das ist die Zahl in 1990. Damit die Funktionen vergleichbar werden, müßtest du diese Zahl auf die Zahl in 1985 runterrechnen.

18.12.2006, 21:31

krissi

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also, ich habs jetzt so gemacht: ich hab für das zweite land die funktion $\begin{eqnarray*} M(t)=M_0 \cdot e ^{0,5 \cdot k\cdot t} \end{eqnarray*}$ aufgestellt. und als Grunbevölkerung hab ich einfach 81 Mio genommen, und dass dann mit der ersten Funktion gleichgesetzt, wo ich allerdings als Grundbevölkerung die Bevölkerung zur zeit 1990 genommen habe hab den wert allerdings gerundet^^. da stand dann also:
$\begin{eqnarray*} 68000000 \cdot e^{k \cdot t} = 81000000 \cdot e^{0,5 \cdot \cdot k \cdot t} \end{eqnarray*}$ dann hab ich für $\begin{eqnarray*} e^{k\cdot t} \end{eqnarray*}$ z eingesetzt und dann kam bei mir raus $\begin{eqnarray*} \sqrt{z}=\frac{81}{68} \end{eqnarray*}$ und als ich dann quadriert hab und für z wieder $\begin{eqnarray*} e^{k\cdot t} \end{eqnarray*}$ eingesetzt habe und dann nach t aufgelöst habe, kam ca. 39 jahre raus, was bei der probe auch gestimmt hat

achso, für k habe ich ln 1,009 gesetzt

Gott

vielen dank für deine hilfe

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