Jede Projektion diagonalisierbar

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ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »
Jede Projektion diagonalisierbar
Hallo,

ich versuche, folgendes zu beweisen:

Zitat:

Es sei K ein Körper und V ein n-dimensionaler Vektorraum. Weiter sei mit gegeben. Zeigen Sie:
1) ist diagonalisierbar
2) Alle Eigenwerte von sind entweder 0 oder 1.


Ich habe schon einige Beweise zu diesem Thema gesehen, doch leider benutzen alle das Minimalpolynom, was wir aber noch nicht hatten und daher nicht benutzen dürfen.

Gibt es eine Möglichkeit, diese Aussage auch ohne Minimalpolynom zu beweisen?

Ich habe momentan keine Idee, wie man hier beginnen könnte.

danke schonmal im voraus.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehm mal an den Spektralsatz habt ihr auch noch nicht gemacht.

Edit:
Ist auch gar nicht nötig und nur unötig kompliziert Big Laugh
 
 
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

nein, die JNF kam bisher auch noch nicht dran.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Es gilt, da eine Projektion ist . Nun musst du nur noch zeigen, dass jeder Vektor im Bild ein EV zu 1 ist.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Felix
Es gilt, da eine Projektion ist . Nun musst du nur noch zeigen, dass jeder Vektor im Bild ein EV zu 1 ist.


?

Diesen Begriff kenne ich noch nicht, aber ich nehme an, dass du meinst.

Ich versuche mal, deine Tipps umzusetzen:

So wie ich das nun verstanden habe, genügt es erstmal zu zeigen, dass ist.

Ich nehme mir mal ein



Nun müsste ich mir doch eine Basis , von und eine Basis von basteln können.

wegen der direktheit der Summe ist dann eine Basis von V.

jetzt könnte ich mir die Abbildungsmatrix von bezüglich dieser Basis B angucken.

Wenn mich nun nicht alles täuscht, wäre dies eine Diagonalmatrix, auf deren ersten k Diagonaleinträgen eine 0 steht, und auf den - ten Einträgen eine 1 steht.

Damit wäre ja dann schon klar, dass diagonalisierbar ist, und die eigenwerte von sind 0 und 1, denn sie stehen ja auf der Diagonalen.

Damit ist dann aber auch direkt schon eine Basis von V, die aus Eigenvektoren von besteht.

Habe ich deinen Hinweis so richtig verstanden?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Falls ihr es noch nicht gezeigt habt, dann musst du halt noch die Zerlegung von V in die entsprechende direkte Summe zeigen.
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

das müssten wir eigentlich schon gezeigt haben.

Ich hatte mir dabei gedacht, dass eine solche Zerlegung des Raums für jede lineare Abbildung existiert, und eine Projektion ist ja auch eine lineare Abbildung.
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Für jede Abbildung gilt das ganz sicherlich nicht. Hier fließt stark ein, dass eine Projektion ist. Betrachte doch nur .
ChronoTrigger Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt, dann habe ich da etwas verwechselt.

dann noch zur Direktheit:

zu

Es ist , wobei , da und

Die andere Inklusion ist klar, da beides Unterräume sind.

Sei jetzt
, und dann kann ich dieses Argument von oben wieder benutzen:

Zitat:
Ich nehme mir mal ein



woraus dann folgt, dass , und damit folgt dann, dass gilt.
Tiod Auf diesen Beitrag antworten »

Kann jemand noch einmal erläutern warum auf der Diagonale der Abbildungsmatrix auf den ersten k-Einträgen nur 0 stehen und auf den k+1 bis n-ten Einträgen nur 1?
Lg Tiod
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die Basis passend gewählt wurde:
Zitat:
Nun müsste ich mir doch eine Basis , von und eine Basis von basteln können.

wegen der direktheit der Summe ist dann eine Basis von V.
Tiod Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn mich nun nicht alles täuscht, wäre dies eine Diagonalmatrix, auf deren ersten k Diagonaleinträgen eine 0 steht, und auf den - ten Einträgen eine 1 steht.


Aber wenn die Abbildungsmatrix eine Diagonalmatrix ist und auf den ersten 1..k-Einträgen nur 0 stehen, bedeutet das doch dass die Basis vom Kern der 0 Vektor ist und somit dim ker \phi\ = 0 und das muss doch nicht immer der Fall sein oder?

Lg Tiod
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dass die Basis vom Kern der 0 Vektor ist

wie kommst du darauf? verwirrt
Tatsächlich bedeutet es nur, dass die ersten k Basisvektoren alle zum Kern von gehören.
justso Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie ist garantiert dass so eine Basis existiert, damit die Abbildungsmatrix diese Eigenschaften besitzt?
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Steht doch oben schon: Weil eine Projektion ist, gilt .
Und jetzt kannst du in jedem der beiden Unterräume eine beliebige Basis nehmen.
justso Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
Welche Frage sich mir noch stellt: Gilt die Umkehrung ebenso?

Zitat:
Ist die lineare Abbildung diagonalisierbar mit Eigenwerten , dann ist die lineare Abbildung eine Projektion.
URL Auf diesen Beitrag antworten »

Prüf doch nach, ob gilt
justso Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr, um einiges einfacher als vermutet.
Lg
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