Verkettung/Erzeugung von stetigen Zufallsvariablen

18.07.2011, 14:51

Deka

Verkettung/Erzeugung von stetigen Zufallsvariablen

Ich hatte folgende Aufgabe:
#################
Es sei die Zufallsvariable R stetig gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1].
Für $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ setze sich $\begin{eqnarray*} Q = (b-a)\cdot R +a \end{eqnarray*}$ zusammen .
Bestimme und zeichne und die Verteilungsfunktion und Dichte von Q.
#################

Es wird eine ZV also stetige ZV mit einer geraden Gleichung verkette ?
R ist genauer betrachtet:
Mit $\begin{eqnarray*} x,t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} f_R(x)=\begin{cases} 1, & 0\leq x \leq 1\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_R(t)=\begin{cases} 0, & t < 0 \\ t, & t \in \left[0,1\right] \\ 1, & t > 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun dachte ich mir ich setze einfach die Verteilungsfunktion von Q aus der von R und der geraden Gleichung zusammen und kriege die Dichtefunktion durch Ableitung der Verteilungsfunktion von Q:

Mit $\begin{eqnarray*} x,t \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F_Q(t)=\begin{cases} a, & t < 0 \\ (b-a)t+a, & t \in \left[0,1\right] \\ a, & t > 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_Q(x)=\begin{cases} b-a, & 0\leq x \leq 1\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun sieht man aber das $\begin{eqnarray*} F_Q \end{eqnarray*}$ nicht die folgenden Eigenschaften einer Verteilungsfunktion erfüllt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to -\infty } F(t) = 0 \\ \lim_{t \to \infty } F(t) = 1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f_Q \end{eqnarray*}$ erfüllt nicht:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^{\infty} \! f(x) \, dx=1 \end{eqnarray*}$

Hat jemand einen Hinweis/Ansatz für mich wie ich von Q die Verteilungsfunktion und Dichtefunktion bzw. generell Q richtig konstruiere/bestimme?
Muss ich etwa die Intervalle anpassen ?

Generell würde mich interessieren ob bei aus einer stetigen ZV bei linear Kombination wieder ein stetige ZV resultiert/entsteht.

MFG
Deka

18.07.2011, 15:01

Math1986

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RE: Verkettung/Erzeugung von stetigen Zufallsvariablen
Zur Bestimmung von $\begin{eqnarray*} F_Q \end{eqnarray*}$ solltest du über die Definition der Verteilungsfunktion gehen, also:
$\begin{eqnarray*} F_Q(x)=P(Q\leq x)=P( (b-a)\cdot R +a\leq x)=\ldots \end{eqnarray*}$

Über diesen Ansatz kannst du dir dann auch die Dichte von Q herleiten.

18.07.2011, 15:59

Deka

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Habe ich das richtig verstanden und es soll so aussehen ?

$\begin{eqnarray*} F_Q(t)=\mathbb{P}(Q \leq t)=\mathbb{P}((b-a)\cdot R + a \leq t )=\mathbb{P}(R \leq \frac{t-a}{b-a})=\begin{cases} 0, & \frac{t-a}{b-a} < 0 \\ t, & 0 \leq \frac{t-a}{b-a} \leq 1 \\ 1, & \frac{t-a}{b-a} > 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_Q(x)=\begin{cases} 1, & 0\leq \frac{x-a}{b-a} \leq 1\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

18.07.2011, 17:30

Math1986

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Zitat:

Original von Deka
Habe ich das richtig verstanden und es soll so aussehen ?

$\begin{eqnarray*} F_Q(t)=\mathbb{P}(Q \leq t)=\mathbb{P}((b-a)\cdot R + a \leq t )=\mathbb{P}(R \leq \frac{t-a}{b-a})=\begin{cases} 0, & \frac{t-a}{b-a} < 0 \\ t, & 0 \leq \frac{t-a}{b-a} \leq 1 \\ 1, & \frac{t-a}{b-a} > 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_Q(x)=\begin{cases} 1, & 0\leq \frac{x-a}{b-a} \leq 1\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Nicht ganz..
Richtig wäre
$\begin{eqnarray*} F_Q(t)=\mathbb{P}(Q \leq t)=\begin{cases} 0, & \frac{t-a}{b-a} < 0 \\ \frac{t-a}{b-a}, & 0 \leq \frac{t-a}{b-a} \leq 1 \\ 1, & \frac{t-a}{b-a} > 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$
Fang mal an, hier rechts die Bedingungen umzustellen, an welche Verteilungsfunktion erinnert dich das, was dabei herauskommt?

Bei der Dichtefunktion musst du über Transformationsformel gehen

18.07.2011, 18:04

Deka

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Ok , finally....
$\begin{eqnarray*} F_Q(t)=\cdots=\begin{cases} 0, & t< a \\ \frac{t-a}{b-a}, & a \leq t \leq b \\ 1, & t > b \end{cases} \end{eqnarray*}$
bzw die Verteilungsfunktion einer gleich verteilte Zufallsvariable auf dem Intervall [a, b].

Was meinst du mit Transformationsformel ?
Gibt einen Grund warum ich $\begin{eqnarray*} (F_Q)'=f_Q \end{eqnarray*}$ gilt ?
Zumindest kommt das Richtige raus.

18.07.2011, 20:26

Math1986

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Zitat:

Original von Deka
Ok , finally....
$\begin{eqnarray*} F_Q(t)=\cdots=\begin{cases} 0, & t< a \\ \frac{t-a}{b-a}, & a \leq t \leq b \\ 1, & t > b \end{cases} \end{eqnarray*}$
bzw die Verteilungsfunktion einer gleich verteilte Zufallsvariable auf dem Intervall [a, b].

Ja, das meinte ich, so kannst du dir auch die zugehörige Dichte herleiten

Zitat:

Original von Deka
Was meinst du mit Transformationsformel ?
Gibt einen Grund warum ich $\begin{eqnarray*} (F_Q)'=f_Q \end{eqnarray*}$ gilt ?
Zumindest kommt das Richtige raus.

Ja, hat einen Grund, ist so aber nicht so ganz einfach zu erklären Augenzwinkern

Ich meine die Transformationsformel für transformierte Zufallsvariablen, schau dir die mal an

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