[Artikel] Dreiecksungleichung |
18.07.2011, 15:38 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » |
[Artikel] Dreiecksungleichung Voraussetzung: Es sei ein angeordneter Körper (beispielsweise der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der rationalen Zahlen ). Für alle gelten dann folgende Ungleichungen (oft als erste und zweite Dreiecksungleichung bezeichnet): Hierbei bezeichnet den Absolutbetrag. Damit gilt: für alle und für alle . Wir beweisen die erste Dreiecksungleichung: Unterscheide die zwei Fälle: oder . Aus folgt: Falls ist, so gilt: Für den Beweis der zweiten Dreiecksungleichung, verwenden wir die erste Dreiecksungleichung: ist klar, nach Definition des Absolutbetrags, es bleibt zu zeigen: . Es gilt: , umstellen ergibt also: Weiter ist: , umstellen ergibt hier: . Insgesamt folgt nun: . Die Dreiecksungleichung wird häufig bei Abschätzungen durch Einfügen einer "nahrhaften Null" angewendet, ähnlich wie im Beweis der zweiten Dreiecksungleichung ( ermöglicht die Anwendung der ersten Dreiecksungleichung). Sehr schöne Anwendungen der Dreiecksungleichung gibt es etwa bei Aussagen zur Konvergenz von Folgen und Reihen. |
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