[Artikel] Dreiecksungleichung

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[Artikel] Dreiecksungleichung
Die Dreiecksungleichung ist ein oft verwendetes Hilfsmittel in mathematischen Beweisen, daher wollen wir hier einen kleinen Überblick geben.

Voraussetzung: Es sei ein angeordneter Körper (beispielsweise der Körper der reellen Zahlen oder der Körper der rationalen Zahlen ). Für alle gelten dann folgende Ungleichungen (oft als erste und zweite Dreiecksungleichung bezeichnet):



Hierbei bezeichnet den Absolutbetrag. Damit gilt: für alle und für alle .

Wir beweisen die erste Dreiecksungleichung:

Unterscheide die zwei Fälle: oder .
Aus folgt:



Falls ist, so gilt:



Für den Beweis der zweiten Dreiecksungleichung, verwenden wir die erste Dreiecksungleichung:

ist klar, nach Definition des Absolutbetrags, es bleibt zu zeigen: .

Es gilt: , umstellen ergibt also:

Weiter ist: , umstellen ergibt hier: .

Insgesamt folgt nun: .

Die Dreiecksungleichung wird häufig bei Abschätzungen durch Einfügen einer "nahrhaften Null" angewendet, ähnlich wie im Beweis der zweiten Dreiecksungleichung ( ermöglicht die Anwendung der ersten Dreiecksungleichung). Sehr schöne Anwendungen der Dreiecksungleichung gibt es etwa bei Aussagen zur Konvergenz von Folgen und Reihen.
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