Eigenvektor

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Ilayda Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektor
Meine Frage:
Hey..habe totale schwierigkeiten die Eigenvektoren zu bestimmmen. Habe schon sämtliche Literatur durchstöbert aber komme einfach auf keinen grünen Zweig, weil immer genau an der Stelle vereinfacht und Rechenschritte angezeigt werden, wo ich SChwierigkeiten habe unglücklich (

Also das char.Polynom aufzustellen und die Eigenwerte zu bestimmen sind gar kein Problem. Danach die Eigenwerte in die char.Matrix einzusetzen ist auch klar.

Nur dann fängt es an. Es schaut ein wenig so aus, als ob man immer willkürlich umformt. Nach welchem Prinzip und mit welchem Ziel formt man die Matrix mit dem Eigenwert um?

Und dann darf man eine Variable frei wählen. Nur das bekomme ich auch nie hin unglücklich meine Lösungen sind immer falsch und ich komme einfach nicht auf die gegebene Lösung.

Ich gebe mal ein Beispiel, dass mich seit circa 72h beschäftigt!

Meine Ideen:
\begin{pmatrix} 2 & -5 & 3 \\ 3 & 0 & 3 \\ 7 & -5 & 8 \end{pmatrix}

Die Eigenwerte sind {0,5} und die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

Nun ich habe nach langem hin und her und verschiedenen Variable möglichkeiten

V(A,0)= {[-5, 1, 5]} (transponiert) herausbekommen.

Nur V(A,5)= {[0, 3, 5]} komme ich einfach bei bestem willen nicht unglücklich ((

BItte hellft mir.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor
Zitat:
Original von Ilayda
Danach die Eigenwerte in die char.Matrix einzusetzen ist auch klar.

Du mußt dann nur den Kern dieser Matrix bestimmen. Das sollte ja kein Problem sein. smile
Ilayda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor
sorry also wahrscheinlich ist aber genau das mein Problem. Wie berechne ich denn den Kern? ich finde dazu nichts. Also nichts womit ich was anfangen kann. Die allg. Formel

Eig(A,x) = {v element K hoch n: Av= xv} = ker (A-xE) kenne ich.....

aber wie gesagt ich setze jeweils den EW ein und dann formt man ja die matrix um. Nur mit welchem ZIel? da kommen ja meistens keine Zeilenstufenformen raus..

ich habe zum Beispiel jetzt einfach willkürlich umgeformt und bin so weit:

ker

ich komme einfach nie auf die richtige lösung. Welche variable darf ich frei wählen? Wie muss meine matrix aussehen? danke schonmal smile
Ilayda Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor
also eben das war die char. Matrix mit dem EW= 5

Das ist meine umgeformte Matrix und der Punkt an dem ich scheiter also selbst bis zu diesem Punkt ist es nur eine willkürliche Umformung unglücklich

Naturaliw Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenvektor
ICH GLAUBE DAS liegt daran welche zeile die meisten nullen hat...
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast da Vorzeichenfehler drin. Zu der Matrix aus deinem Eingangspost, ist die Matrix


Die Matrix hat nur den Nullvektor als Lösung.

Was die Umformungen angeht würde ich einfach versuchen soviele 0 wie möglich zu erzeugen.

Gruß
 
 
Ilayda Auf diesen Beitrag antworten »

hmm da habe ich mich vertippt, weil genau das habe ich auch raus..danke aufjedenfall smile

soo was meinst du denn mit dem nullvektor? ich muss doch den eigenraum aufstellen.

wenn ich dann soviele nullen wie möglich habe, wie schaut dann meine weitere vorgehensweise aus?

Wie wähle ich die variablen, bzw. welche wähle ich frei, nachdem ich zu der vereinfachten matrix das gleichungssystem aufgestellt habe??

3x + 5y -3z = 0
-6z = 0
10x = 0


danke danke danke!!!
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »



Diese Umformung ist falsch. Da kannst du auch nichts parametrisieren, da diese Matrix eben nur den Nullvektor als Lösung hat.
Also nochmal neu rechnen. Fang mal an mit -I +II, -I +III.
Gruß
Ilayda Auf diesen Beitrag antworten »

da bekomme ich dann folgendes raus:

LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Die letzte Zeile kriegst du auch noch weg.
Dann hast du:



Dann entweder z oder y parametrisieren.
Ilayda Auf diesen Beitrag antworten »

okay also versuche ich immer so viele nullen wie möglich rien zu machen?? aber aufpassen dass nicht der nullvektor entsteht, richtig??

aber wenn ich eine der beiden jetzt frei wähle, dann passiert folgendes:

{0, 1, 5/3} als transponierter vektor

das ist aber leider nicht die kösung auf meinem Übungsblatt unglücklich ( da steht {0, 3, 5} als transponierte matrix

ich habe alsso wirklich in diesem letzten schritt immer einen fehler...

sorry dass ich dich enttäuschen muss...

kannst du mir vllt diesen letzten schritt noch zeigen? was muss ich machen, damit das ergebnis rauskommt??
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Das der Nullvektor eine Lösung war, lag ja schlicht daran das du dich verechnet hattest.
Daran hättest du auch eigentlich merken müssen das du dich verechnet hast, denn Eigenräume enthalten immer auch Vektoren ausser der 0.

Deine Lösung ist trotzdem richtig. Du willst ja den/die Vektoren finden die den Eigenraum aufspannen. (0, 1, 5/3) und (0, 3, 5)=3*(0, 1, 5/3) spannen den den selben Raum auf, weil (0, 3, 5) ein vielfaches von (0, 1, 5/3) ist.

Das würde als Lösung schon so akzeptiert werden. Der Vektor aus der Musterlösung hat nur halt schön glatte Zahlen.

Gruß
Ilayda Auf diesen Beitrag antworten »

wouw danke du hast recht smile )) ich doof Big Laugh ich überleg also voll sinnlos rum die ganze zeit. ist ja klar dass es den gleichen raum aufspannt manno mann ....

danke smile
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja deshalb hatte ich mich auch in den Thread eingeklinkt.
Mit den Vorzeichenfehlern hättest du ja noch Stunden rechnen können.

Zitat:
Original von ilayda
...
manchmal wählt man ja zwei variablen frei aus und dann gibt es ja auch zwei eigenvektoren...

...


Ich zitier dich mal aus dem anderen Thread.
Bei der Matrix oben hast du ja 2 Gleichungen und 3 Unbekannte. Also muss 1 Unbekannte parametrisiert werden. Also im Grunde Unbekannte-Gleichungen.


Zitat:
Original von ilayda
gibt es eine merkregel, durch die man weiß wie viele vektoren aus einem eigenwert rauskommen??

...


Du weisst ja das gilt 1 <= geom. V. <= algebr. V.
Wenn du z.B. einen 1-fachen EW ausrechnest weisst du direkt das der dazugehörige Eigenraum Dimension 1 hat.

Gruß
Ilayda Auf diesen Beitrag antworten »

danke smile

also ich hatte eben eine matrix gerechnet



eigenwerte sind -1 und 1

dann habe ich für den ew 2 sogar 3 vektoren rausbekommen (nach einem langen blick auf die musterlösung)

woher weiß ich denn dass es drei sein müssen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Auch hier hilft wieder die genaue Kenntnis / Beherrschung des Gauß-Verfahrens.

Wenn sich die Matrix in Zeilenstufenform befindet, ist die Dimension des Kerns gleich der Anzahl der Spalten minus Anzahl der Nicht-Nullzeilen.
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