Eigenvektor

18.07.2011, 19:13

dt_kürzer

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Eigenvektor

Hihi und zwar gehts um folgende Matrix.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 3 & 0 & -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab alles schon ausgerechnet also EW mit $\begin{eqnarray*} x_1=x_2=1,x_3=-5 \end{eqnarray*}$

und kommt auch auf die beiden Eigenvektoren
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie bei wolfram alpha nur soll es noch einen Eigenvektor.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
geben auf den ich aber einfach nicht komme weil ich ja nur zwei gleichungssysteme hab einmal für 1 und für -5 für den EW und da kommen halt die Vektoren von oben raus und ich weis jetzt nicht wo der 3. herkommt.

18.07.2011, 19:18

Iorek

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Der Nullvektor ist als Eigenvektor nicht zugelassen, du wirst dich verrechnet haben. Dein zweiter Eigenvektor ist richtig.

18.07.2011, 19:19

dt_kürzer

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Dann muss sich wolfram alpha auch verrechnet haben...

18.07.2011, 19:23

Iorek

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Wieso hat sich WolframAlpha verrechnet? Die Eigenvektoren dieser Matrix sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Der Nullvektor ist per Definition kein Eigenvektor (allerdings liegt er natürlich in den zugehörigen Eigenräumen).

18.07.2011, 19:26

dt_kürzer

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wtf ich hab jetzt nochmal nen anderen online rechner genommen und der zeigt echt (0,1,0) als doppelten eigenvektor an... hätte nicht gedacht das wolfram da nen bug hat

wobei ich trotzdem nicht auf den eigenvektor komme denn das lgs wäre ja dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{ccc|c} -3 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & -3 & 0\end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wo ich wieder auf (0,0,0) komme.

18.07.2011, 19:27

dt_kürzer

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naja wolfram zeigt den (0,0,0) mit als eigenvektor an deshalb

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18.07.2011, 19:31

Iorek

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Dann solltest du dir nochmal genau deine Umformungen angucken, noch einmal: du wirst dich verrechnet haben. Sowohl Eigenwert als auch die daraus resultierende Matrix stimmen, bei deinen Umformungen wirst du also einen Fehler drin haben.

18.07.2011, 19:33

dt_kürzer

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Ka bei mir folgt aus Zeile 1 und 3 x1=x3 und aus Zeile 2 x3=0 so viel Spielraum zum überprüfen hab ich da net.

Ich muss gerade verdammt auf dem Schlauch stehen anders kann ich mir das gerade net erklären xD.

18.07.2011, 19:35

Iorek

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Du hast noch keine Aussage über $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ getroffen. Auch der Gauß-Jordan-Algorithmus ist hier hilfreich.

18.07.2011, 19:38

dt_kürzer

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OMG klar x2 ist ja beliebig ich glaube ich habe gerade die Grenze erreicht wo es nicht mehr sinnvoll ist zu lernen da man geistig schon extrem ausgebrannt is xD

18.07.2011, 19:59

ilayda

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RE: Eigenvektor
gibt es eine merkregel, durch die man weiß wie viele vektoren aus einem eigenwert rauskommen??

manchmal wählt man ja zwei variablen frei aus und dann gibt es ja auch zwei eigenvektoren...

gibt es dafür eine regel...ich weiß nie ob ich auf dem richtigen weg bin, weil es kommt mir immer einwenig willkürllich vor unglücklich

unglücklich

18.07.2011, 20:24

dt_kürzer

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RE: Eigenvektor
Also ne direkte Regel hab ich nicht gefunden aber auf wiki steht.
"Die geometrische Vielfachheit ist immer kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit."

Was ich so verstehe wenn nen Eigenwert zB nur einfach vorkommt kann die dimension des Lösungsraumes auch nur 1 sein. D.h. da dürfte man nix wählen können.

Oder habe ich da etwas falsch verstanden?

18.07.2011, 20:34

ilayda

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RE: Eigenvektor
alg. vielfachheit? geo. vielfachheit? kannst du das erläutern`??

smile

smile

also wenn die 1 nur eine einfache ns ist dann ist die dim. der eigenräume auch 1?

und wenn die 1 zb. zweifach ns ist, dann kann es auch 2 dimensional sein, aber muss nicht unbedingt, ne?? Kann es dann auch mehr als 2 eigenvektoren dann haben? ne oder??

schreibst du morgen auch LA? smile

smile

)

18.07.2011, 20:43

dt_kürzer

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RE: Eigenvektor
Also alle Antworten ohne Gewähr und ich schreib morgen ANA und LinAlg zusammen in einer Klausur.

alg. Vielfachheit ist halt wie oft die Nullstelle im Polynom vorkommt und geom. ist die Anzahl der lin. unabh. EV. Und dann verhält sich die Sache genau wie du es gesagt hast.

Ich find das halt vorallem für den Fall algebraische = 1 interessant weil dann müsste das gleichungssystem ja immer eindeutig lösbar sein wenn der eigenvektor kein nullvektor sein darf.

18.07.2011, 20:49

Ilayda

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RE: Eigenvektor
ui ui beides aufeinmal..viel glück..

ja also ehrlich gesagt finde ich das sehr schwer zu sagen unglücklich

unglücklich

wei lich hatte heute auch schon bei zwei eigenwerten bei der einen 3 vektoren, bedeutet das, dass sie dann dreifache ns ist?? ja oder?

18.07.2011, 20:52

dt_kürzer

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Also wenn die drei Vektoren linear unabh waren dann weis man nur das die NS größer gleich 3 fach ist.

Und dir auch viel glück ^^

18.07.2011, 21:28

LoBi

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RE: Eigenvektor

Zitat:

Original von dt_kürzer
...
Ich find das halt vorallem für den Fall algebraische = 1 interessant weil dann müsste das gleichungssystem ja immer eindeutig lösbar sein wenn der eigenvektor kein nullvektor sein darf.

Das Gegenteil ist der Fall. Das Gleichungsystem ist für jede algebraische Vielfachheit nie eindeutig lösbar. Wäre das der Fall würde der Kern ja nur den Nullvektor enthalten, also der Eigenraum nur den Nullvektor enthalten.

Was du meinst ist wahrscheinlich das du bei algebraischer Vielfachheit 1 direkt weisst das die geom. Vielfachheit, sprich die Dimension des Eigenraums 1 ist.

Gruß

18.07.2011, 21:42

Ilayda

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RE: Eigenvektor
danke lobi you are the best smile

smile

19.07.2011, 09:58

dt_kürzer

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ok ich hab mich etwas undeutlich ausgedrückt ich meinte das gleichungssystem welches entsteht um den Eigenvektor zu berechnen.

19.07.2011, 11:06

LoBi

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Das meinte ich auch.
Wir wissen ja das $\begin{eqnarray*} ker(A-\lambda I)=Eig(A,\lambda) \end{eqnarray*}$
Bei algebraischer Vielfachheit 1 folgt $\begin{eqnarray*} dim (Eig(A,\lambda)=1) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} dim( ker(A-\lambda I))= 1 \end{eqnarray*}$

Angenommen das LGS $\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)x=0 \end{eqnarray*}$ ist eindeutig lösbar.
$\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)x=0 \Leftrightarrow ker(A-\lambda I)=\{0\} \Leftrightarrow dim( ker(A-\lambda I))= 0 \end{eqnarray*}$ Die Dimension war aber 1.

Oder anders Die Eigenwerte sind die Nullstellen des char. Polynom.
Also $\begin{eqnarray*} p_A(\lambda)=det(A-\lambda I)=0 \end{eqnarray*}$ . Wäre $\begin{eqnarray*} (A-\lambda I)x=0 \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar wäre aber $\begin{eqnarray*} det(A-\lambda I)\not=0 \end{eqnarray*}$

Gruß

31.07.2011, 10:23

Tarsuinn

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Wollte den Thread mal nutzen für ein ähnliches Problem, habe folgende Matrix mit den Eigenwerte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigenwerte: 1;1;5

Wenn ich jetzt für den Eigenwert 1 die Eigenvektoren berechnen möchte komme ich nur auf eine Gleichung:

$\begin{eqnarray*} x+2y+z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z=-x-2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=-2y-z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\frac{-x-z}{2} \end{eqnarray*}$

Als Eigenwerte sollen rauskommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie kommt man darauf, ich kann doch nicht raten was die 3 Gleichungen erfüllen könnte?

31.07.2011, 11:20

LoBi

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Du hast 3 Unbekannte und eine Gleichung.
Also sind 2 Unbekannte frei wählbar. Setze mal $\begin{eqnarray*} x= \lambda, z= \mu \end{eqnarray*}$
Dann hat der Vektor die Form: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\lambda \\\frac{-\lambda - \mu}{2} \\\mu \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann nur noch auseinander ziehen und du hast dein Lösungsraum.

Gruß

31.07.2011, 11:59

Tarsuinn

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Komme da aber auf:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda \\ -\frac{\lambda }{2} \\ 0 \end{pmatrix}\Rightarrow \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ -\frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{\mu}{2} \\ \mu \end{pmatrix} \Rightarrow \mu \begin{pmatrix} 0 \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das passt doch nicht ganz, oder?

31.07.2011, 12:15

LoBi

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Die Lösung ist richtig.
Nur halt nicht genau die Basis wie aus der Musterlösung.

Wenn du die Gleichung nach x auflöst, und so vorgehst wie oben kommst du auf die Vektoren aus der Musterlösung. Es ist allerdings beides richtig.

Gruß

31.07.2011, 12:17

Tarsuinn

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Ah ok, jetzt sehe ich es auch, danke nochmal für die Hilfe!!!

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