Vollständige Induktion i = n²

19.07.2011, 00:19

moe*

Vollständige Induktion i = n²

Meine Frage:
Hallo an alle,

folgende Aufgabe beschäftigt mich momentan. Wir sollen an 6 Stellen des Beweises prüfen, ob der Schritt richtig oder falsch ist.
Beweis der Behauptung: Für $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{i=0}^n i = n² \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang:

1.)Für n=0 is zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \mathbb N: \sum\limits_{i=0}^n i = n² \end{eqnarray*}$ richtig[x] falsch[]

2.)Für n=0 gilt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n i = 0 \end{eqnarray*}$ richtig[x] falsch[]

3.)Für n=0 gilt $\begin{eqnarray*} n² = 0² = 0 \end{eqnarray*}$ richtig[x] falsch[]

Induktionsschritt:

4.)Unter der Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^k i = k² \end{eqnarray*}$ ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n i = n²+(k+1) \end{eqnarray*}$ richtig[] falsch[x]

5.) Es ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{k+1} i = (\sum\limits_{i=0}^k i) + (k+1) \end{eqnarray*}$ richtig[x] falsch[]

6.) Aus $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^k i = k² \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{i=0}^k i)+(k+1)= k²+(k+1) \end{eqnarray*}$ richtig[] falsch[x]

Liege ich mit meinem Annahmen richtig? Besten Dank schonmal im Vorraus.

Meine Ideen:
Induktionsanfang:

Meiner Meinung nach, stimmt der Induktionsanfang.

linke Seite: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^0 i=0 \end{eqnarray*}$

rechte Seite: $\begin{eqnarray*} 0² = 0*0 = 0 \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

5.) Unter Vorraussetzung der Induktionsannahme,müsste es ja jetzt mit $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{k+1} k=(k+1)² \end{eqnarray*}$ weiter gehen. Also sollte dieser Schritt falsch sein.

5.) Dieser Schritt sieht für mich korrekt aus. Da wir ja bis k+1 "laufen", also von i bis k + (k+1)

6.) Für mich ist dieser Schritt falsch, da wir nicht von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^k i = k² \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{i=0}^k i)+(k+1)= k²+(k+1) \end{eqnarray*}$ schließen können.

19.07.2011, 09:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von moe*
6.) Für mich ist dieser Schritt falsch, da wir nicht von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^k i = k² \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (\sum\limits_{i=0}^k i)+(k+1)= k²+(k+1) \end{eqnarray*}$ schließen können.

Du meinst also, die Implikation

Zitat:

Aus $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} a+c=b+c \end{eqnarray*}$

sei falsch? Denn nichts anderes steht hier da, für die speziellen Werte $\begin{eqnarray*} a=\sum\limits_{i=0}^k i ,\;b= k^2,\;c=k+1 \end{eqnarray*}$ .

19.07.2011, 11:54

klarsoweit

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RE: Vollständige Induktion i = n²

Zitat:

Original von moe*
Induktionsschritt:

4.)Unter der Vorraussetzung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^k i = k² \end{eqnarray*}$ ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^n i = n²+(k+1) \end{eqnarray*}$ richtig[] falsch[x]

Das paßt auch schon nicht. Zu zeigen wäre $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n+1} i = (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ .

22.07.2011, 23:56

Takeshi

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RE: Vollständige Induktion i = n²

Zitat:

Original von moe*
Beweis der Behauptung: Für $\begin{eqnarray*} \forall n \in \mathbb N: \sum\limits_{i=0}^n i = n² \end{eqnarray*}$

Die Aussage wirst du nicht beweisen können, weil sie schlicht falsch ist.

Man muss nämlich nur über die ungeraden Zahlen aufsummieren:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n (2k-1) = n^{2} \end{eqnarray*}$

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