Exponentialfunktionen

19.07.2011, 08:52

pusteblume-88

Exponentialfunktionen

Hallo,

ich beschäftige mich aktuell mit den Exponentialfunktionen und habe ein paar aufgaben, bei denen ich hängen bleibe. Vlt kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen?

1.) a) Begründe die folgende Fausregel für die Exponentialfunktion mit $\begin{eqnarray*} y=2^x \end{eqnarray*}$ : Ein Zuwachs eines x-Wertes um 10 bewirkt eine Vertausendfachung des Funktionswertes.
Mein Lösungsansatz war halt, dass 2^x 1024 ergibt und somit etwa das Tausendfache ist. Aber reicht das aus? Die Aufgabe kommt aus einem Schulbuch der Oberstufe.

b) Berechne angenähert den Funktionswert von $\begin{eqnarray*} y=2^x \end{eqnarray*}$ an der Stelle 36. Wähle 1 cm als Einheit und vergleiche diesen Funktionswert mit der Entfernung Erde - Mond (~384000 km)
Nun ja, ich habe berechnet $\begin{eqnarray*} 2^{36}=6,87\cdot10^{10} \end{eqnarray*}$ . Wie soll ich das nun vergleichen? die Zahl ist wesentlich größer?! verwirrt

vielen Dank schonmal

19.07.2011, 10:14

Steffen Bühler

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RE: Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von pusteblume-88
1.) a) Begründe die folgende Fausregel für die Exponentialfunktion mit $\begin{eqnarray*} y=2^x \end{eqnarray*}$ : Ein Zuwachs eines x-Wertes um 10 bewirkt eine Vertausendfachung des Funktionswertes.
Mein Lösungsansatz war halt, dass 2^x 1024 ergibt und somit etwa das Tausendfache ist. Aber reicht das aus?

Finde ich schon. Zehn mehr im Exponenten sind Faktor 1024, man macht also einen Fehler von 2,4 Prozent. Vielleicht könntest Du's auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} 2^{10+x} = 2^{10} * 2^x = 1024 * 2^x \approx 1000 * 2^x \end{eqnarray*}$

Zitat:

b) Berechne angenähert den Funktionswert von $\begin{eqnarray*} y=2^x \end{eqnarray*}$ an der Stelle 36. Wähle 1 cm als Einheit und vergleiche diesen Funktionswert mit der Entfernung Erde - Mond (~384000 km)
Nun ja, ich habe berechnet $\begin{eqnarray*} 2^{36}=6,87\cdot10^{10} \end{eqnarray*}$ .

Im Zusammenhang mit a) könnte auch gemeint sein, daß Du's mit obiger Faustformel rechnen sollst. Mach das doch mal.

Zitat:

Wie soll ich das nun vergleichen? die Zahl ist wesentlich größer?!

In Zentimetern nicht so sehr ...

Viele Grüße
Steffen

19.07.2011, 10:17

Christian_P

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Hast du die Aufgabe aus "Mathematik heute - Leistungskurs Analysis" ? smile

Ich wusste doch, dass ich diese Aufgabe schon einmal irgendwo gesehen habe.

19.07.2011, 11:00

pusteblume-88

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RE: Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Finde ich schon. Zehn mehr im Exponenten sind Faktor 1024, man macht also einen Fehler von 2,4 Prozent. Vielleicht könntest Du's auch so schreiben:
$\begin{eqnarray*} 2^{10+x} = 2^{10} * 2^x = 1024 * 2^x \approx 1000 * 2^x \end{eqnarray*}$

Ja, das sieht gut aus. Hätte ich auchselber drauf kommen können Augenzwinkern

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Im Zusammenhang mit a) könnte auch gemeint sein, daß Du's mit obiger Faustformel rechnen sollst. Mach das doch mal.

ich habs jetzt so gemacht: $\begin{eqnarray*} 2^{10}*2^{10}*2^{10}*2^6=6,4*10^{10} \end{eqnarray*}$
aber irgendwie versteh ich das mit dem Vergleich immer noch nicht...

@Christian_P: nein, das Buch heißt "Elemente der Mathematik - LK Analysis" von Prof. Dr. Heinz Giesel und Prof. Helmut Postel

19.07.2011, 11:14

Steffen Bühler

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RE: Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von pusteblume-88
ich habs jetzt so gemacht: $\begin{eqnarray*} 2^{10}*2^{10}*2^{10}*2^6=6,4*10^{10} \end{eqnarray*}$

Mit
$\begin{eqnarray*} 2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^{10} \cdot 2^6 \approx 1000 \cdot 1000 \cdot 1000 \cdot 64 \end{eqnarray*}$

zeigst Du, daß Du die Faustformel verstanden hast: dreißig mehr im Exponenten sind eine Milliarde als Faktor, dann noch mal 64.

Zitat:

aber irgendwie versteh ich das mit dem Vergleich immer noch nicht...

Der soll wohl nur so große Zahlen anschaulich machen, nach dem Motto: "wie lang sind eigentlich $\begin{eqnarray*} 2^{36} \end{eqnarray*}$ Zentimeter?"

Viele Grüße
Steffen

19.07.2011, 12:04

pusteblume-88

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RE: Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Der soll wohl nur so große Zahlen anschaulich machen, nach dem Motto: "wie lang sind eigentlich $\begin{eqnarray*} 2^{36} \end{eqnarray*}$ Zentimeter?"

achso, ja dann Augenzwinkern

da habe ich wohl schon komplizierter gedacht als ich brauchte^^

die nächste Aufgabe lautet wie folgt:

2.) Röntgenstrahlen werden durch Bleiplatten abgeschwächt. DIe Strahlungsintensität nimmt pro 1mm Plattendicke um 5% ab. Gehe von einer Strahlungsintensität 1=100% aus. Gib die Funktion an, die der Plattendicke (in mm) die Restintensität zuordnet. Zeichne auch den Graphen.

Nungut, vlt liegts daran, dass ich mit Röntgenstrahlen eher mit bq messe und andere Formeln kenne, aber irgendwie bin ich doch ein wneig überfragt. Wenn 1mm 5% abschwächt, sind wir bei 95%, wenn ich dann wieder 5% abschwäche stehe ich ja nicht bei 90%. Daher frage ich mich grad, wie ich das in ne Funktion packen soll. Muss das nicht irgendwas mit $\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\frac{1}{b} \right) ^x \end{eqnarray*}$ sein? sind die 5% nun b oder x?

19.07.2011, 12:37

Steffen Bühler

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RE: Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von pusteblume-88
Wenn 1mm 5% abschwächt, sind wir bei 95%,

Richtig. Wie rechnet man 95 Prozent aus?

Zitat:

wenn ich dann wieder 5% abschwäche stehe ich ja nicht bei 90%.

In der Tat. Wie rechnet man weitere 95 Prozent aus?

Viele Grüße
Steffen

19.07.2011, 12:55

pusteblume-88

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RE: Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von pusteblume-88
Wenn 1mm 5% abschwächt, sind wir bei 95%,

Richtig. Wie rechnet man 95 Prozent aus?

Zitat:

wenn ich dann wieder 5% abschwäche stehe ich ja nicht bei 90%.

In der Tat. Wie rechnet man weitere 95 Prozent aus?

Viele Grüße
Steffen

mhh, naja....ich rechne das mit dem 3-satz.
Wenn 5% Abschirmung 1 mm entsprechen, haben wir bei 100% Abschirmung 20 mm, und bei 95% 18 mm

aber irgendwas verwechsel ich da grade, denn nach der Exponentialfunktion können wir ja nie bei 0 ankommen, sprich mathematisch gesehen lässt sich die Radioaktivität nie vollständig abschwächen. Und bei 100% Abschirmung hätten wir ja 0% Durchgang erreicht... Durch den 3-Satz erreiche ich eine Geradengleichung, oder?

19.07.2011, 13:28

Steffen Bühler

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RE: Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von pusteblume-88
Wenn 5% Abschirmung 1 mm entsprechen, haben wir bei 100% Abschirmung 20 mm, und bei 95% 18 mm

Puh. Gut, daß keiner mitliest. Augenzwinkern

Wenn Du im SSV fünfzig Prozent Rabatt kriegst, und dann nochmal fünfzig Prozent, weil ein Knopf fehlt, heißt das nicht, daß Du nix mehr zahlen mußt.

Fünf Prozent Abschirmung heißt ja, daß fünf Prozent von irgendwas abgezogen werden. Und zwar vom gerade aktuellen Wert. Das hast Du mit

Zitat:

Wenn 1mm 5% abschwächt, sind wir bei 95%

schon richtig erkannt. Bleib dabei! Jetzt sag mir, wieviel Abschirmung insgesamt bei 2 Millimetern herauskommt. Siehst Du schon ein Schema?

Viele Grüße
Steffen

19.07.2011, 13:55

pusteblume-88

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RE: Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Wenn Du im SSV fünfzig Prozent Rabatt kriegst, und dann nochmal fünfzig Prozent, weil ein Knopf fehlt, heißt das nicht, daß Du nix mehr zahlen mußt.

das war mir klar Augenzwinkern

deswegen war mir ja auch klar, dass da irgendwas falsch läuft^^

und für 2mm hätte ich nun 90,25% Durchlass anzubieten.....bzw 4,75% Abschrimung von den 95%

19.07.2011, 14:09

Steffen Bühler

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RE: Exponentialfunktionen

Zitat:

Original von pusteblume-88
und für 2mm hätte ich nun 90,25% Durchlass anzubieten.....bzw 4,75% Abschrimung von den 95%

Prima! Da Du den Wert 4,75 nennst, rechnest Du aber anscheinend noch etwas umständlich. Du brauchst diesen Zwischenwert nämlich gar nicht. Ich darf Dich nochmal zitieren:

Zitat:

Wenn 1mm 5% abschwächt, sind wir bei 95%

Und jetzt verrate ich Dir was, was offensichtlich in der Schule nicht beigebracht wird: wenn Du von irgendwas fünf Prozent abziehen willst, mußt Du nicht umständlich diese fünf Prozent davon ausrechnen und dieses Ergebnis mühsam von dem Irgendwas abziehen. Multipliziere das Irgendwas einfach mit 0,95 und zack.

Kommst Du jetzt auf eine Formel?

Viele Grüße
Steffen

19.07.2011, 14:56

pusteblume-88

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mhhm, tja...ne Formel...

$\begin{eqnarray*} f(x)=9,5^{2} \end{eqnarray*}$ ?

das Prinzip habeich von einer anderen Aufgabe.Dort war ein Punkt gegeben und daraus sollte man die Exponentialfunktion der Form y=b^x bestimmen und dasn b dann bestimmen. Hier war mein Punkt nun (2|90,25) und b wäre 9,5.

Aber mit Sicherheit ist das wieder nicht ganz richtig^^ richtig verstanden hab ichs aber auch nicht.

19.07.2011, 15:10

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von pusteblume-88
mhhm, tja...ne Formel...

$\begin{eqnarray*} f(x)=9,5^{2} \end{eqnarray*}$ ?

Nicht raten.

Von vorn:

Ohne Blei kriegst Du die volle Strahlung ab, die setzen wir mal auf 1. Das darf man, wir reden ja nur von relativen Werten.

Mit einem Millimeter sind's fünf Prozent weniger, also mal 0,95 (den Trick hab ich Dir ja verraten.) Jetzt ist die Strahlung also auf 0,95 runter. Mit einem zweiten Millimeter sind es dann 0,9025. Und mit drei Millimetern? Mit dreihundert?

Na?

Viele Grüße
Steffen

EDIT: 90,25 hatten wir ja schon gerechnet.
EDIT2: Natürlich 0,9025.

20.07.2011, 09:18

pusteblume-88

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fang ich mal rückwärts an. Da ich den Graphen auch zeichnen soll, benötige ich eine Wertetabelle:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular} {|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{x} & \text{0} & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \text{4} & \text{5} & \text{6} & \text{7} & \text{8} & \text{9} & \text{10}\\ \hline \text{y} & \text{1,0000} & \text{0,9500 } & \text{0,9025 } & \text{0,8570} & \text{0,8145} & \text{0,7738} & \text{0,7350} & \text{0,6980} & \text{0,6630} & \text{0,6300} & \text{0,5987}\\ \hline \end{tabular} \end{eqnarray*}$

so, das habe ich einfach mal aufgezeichnet....das gibt eine Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=\left(\frac{1}{b} \right)^{x} \end{eqnarray*}$ , da der Graph sich an den positiven Bereich der x-Achse nähert.

Durch Ausprobieren habe ich festgestellt, dass ich mir den Punkt angesehen habe, der auf der x-Achse 1 ist, in diesem Falle dann (1|0,95) und festgestellt, dass $\begin{eqnarray*} 0,95^1=0,95 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0,95^2=0,9025 \end{eqnarray*}$ ergibt.

Somit lautet meine Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=0,95^x \end{eqnarray*}$ Freude

aber was mache ich, wenn ich den ersten Punkt nicht gegeben habe?

20.07.2011, 09:36

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von pusteblume-88
Somit lautet meine Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x)=0,95^x \end{eqnarray*}$ Freude

Zitat:

aber was mache ich, wenn ich den ersten Punkt nicht gegeben habe?

Wie jetzt? Du hast Dir doch diese Wertetabelle erstellen können, also hast Du auch eine Formel verwendet (wenn vielleicht auch nur im Kopf). Oder wie kamst Du sonst auf den zehnten Wert?

Oder fragst Du allgemein, wie Du von einer beliebigen Wertetabelle auf eine Funktion schließen kannst?

Viele Grüße
Steffen

20.07.2011, 09:50

pusteblume-88

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naja, die Tabelle hab ich erstellt, indem ich immer das letztere Ergebnis mit 0,5 malgerechnet habe^^ war vermutlich wieder der umständlichere Weg....und auf die 0,95 für b bin ich nur gekommen, weil ich den Punkt (1|0,95) eben eingesetzt habe...

...mhh, naja, eig könnt ich ja auch jeden beliebigen anderen Punkt einsetzten^^

Dann würde das z.B. lauten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=b^x 0,7738=b^5 \end{eqnarray*}$

wie forme ich nun nach b um? muss ich da nicht den logarithmus anwenden?
$\begin{eqnarray*} log(0,7738)=log(b)\cdot5 \end{eqnarray*}$ aber dann komm ich spätestens beim nächsten Schritt nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} \frac{log(0,7738]}{5}=log(b) \end{eqnarray*}$

und nu? wie krieg ich das log vom b weg?

20.07.2011, 09:58

klarsoweit

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Zitat:

Original von pusteblume-88
wie krieg ich das log vom b weg?

Indem du die inverse Funktion des log anwendest. Augenzwinkern

Aber warum so kompliziert? Du könntest auch auf $\begin{eqnarray*} 0,7738 = b^5 \end{eqnarray*}$ die 5. Wurzel anwenden. smile

20.07.2011, 10:23

pusteblume-88

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Zitat:

Original von klarsoweit
Aber warum so kompliziert? Du könntest auch auf $\begin{eqnarray*} 0,7738 = b^5 \end{eqnarray*}$ die 5. Wurzel anwenden. smile

lol, ja^^ stimmt natürlich auch.

So, komm ich nun zu einer ähnlichen Aufgabe:

3.) Frau Glückspilz hat 1 Million Euro im Lotto gewonnen. Sie legt dieses Geld auf einem Konto mit einer 4,5%igen Verzinsung an.
a) Gib das Kontoguthaben (in Mio Euro) in Abhängigkeit von der Zeit (in Jahren) an.
b) Zeichne auch den Graphen dieser Funktion. Informiere dich dazu über die Verzinsung für Bruchteile eines Jahres. Wie müsste man den Graphen demzufolge genau zeichnen?

nach 0 Jahren hat sie 1 Mio Euro, nach 1 Jahr sind es schon 1,045 Mio Euro.
daher habe ich eine Funtionsgleichung von $\begin{eqnarray*} f(x)=1,045^x \end{eqnarray*}$ .

Gut, und für b hab ich jetzt nicht nahcgeschaut. Ich vermute, dass die 4,5% Zinsen ein Mittelwert sind, sodass man - würde man jeden Monat einzeln auftragen - mal höhere und mal tiefere Werte erhält. Man müsste demnach die x-Achse mit einem kleineren Maßstab zeichnen.

aber wenn die Gleichung stimmt, hab ich es wenigstens verstanden Augenzwinkern

20.07.2011, 14:56

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von pusteblume-88
3.) Frau Glückspilz hat 1 Million Euro im Lotto gewonnen. Sie legt dieses Geld auf einem Konto mit einer 4,5%igen Verzinsung an.
a) Gib das Kontoguthaben (in Mio Euro) in Abhängigkeit von der Zeit (in Jahren) an.
b) Zeichne auch den Graphen dieser Funktion. Informiere dich dazu über die Verzinsung für Bruchteile eines Jahres. Wie müsste man den Graphen demzufolge genau zeichnen?

nach 0 Jahren hat sie 1 Mio Euro, nach 1 Jahr sind es schon 1,045 Mio Euro.
daher habe ich eine Funtionsgleichung von $\begin{eqnarray*} f(x)=1,045^x \end{eqnarray*}$ .

Bestens! Du hast's verstanden.

Zitat:

Gut, und für b hab ich jetzt nicht nahcgeschaut. Ich vermute, dass die 4,5% Zinsen ein Mittelwert sind, sodass man - würde man jeden Monat einzeln auftragen - mal höhere und mal tiefere Werte erhält.

Wenn meine Bank das machen würde, bekäme sie Ärger. Nein, das läuft schon schön gleichmäßig. Schau mal nach, wie's geht.

Viele Grüße
Steffen

21.07.2011, 10:10

pusteblume-88

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nungut, das mit der Verzinsung ist jetzt nicht so wichtig.

Heute komme ich zum Verhalten gegen $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ . Dazu habe ich gerade das Problem, dass ich Konvergenz und Divergenz ständig verwechsle. Gibt es da eine Eselsbrücke?
Zudem komme ich irgendwie nicht so ganz weiter. Die Aufgabe lautet:

4.) Skizziere den Funktionsgraphen. Welche Divergenz weisen die angegebenen Grundfolgen auf? Bilde jeweils die dazugehörige Folge der Funktionswerte und untersuche sie auf Konvergenz:
a) Funktionstherm $\begin{eqnarray*} f(x)00,2^x \end{eqnarray*}$
(1) Grundfolge <2n> sowie
(2) Grundfolge <-n>

Was ist hier mit Grundfolge gemeint? Kann ich dieses 2n und -n einfach für x einsetzten? Was ist dann n?

22.07.2011, 08:32

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von pusteblume-88
Dazu habe ich gerade das Problem, dass ich Konvergenz und Divergenz ständig verwechsle. Gibt es da eine Eselsbrücke?

Naja, die Vorsilbe "kon" bedeutet halt "zusammen", die Vorsilbe "di" bedeutet "auseinander". In der Musik gibt es Konsonanzen und Dissonanzen, beim Konzert spielt das Orchester zusammen, Konkordia ist die Eintracht, Diskordia die Zwietracht usw.

Zitat:

Skizziere den Funktionsgraphen. Welche Divergenz weisen die angegebenen Grundfolgen auf? Bilde jeweils die dazugehörige Folge der Funktionswerte und untersuche sie auf Konvergenz:
a) Funktionstherm $\begin{eqnarray*} f(x)00,2^x \end{eqnarray*}$
(1) Grundfolge <2n> sowie
(2) Grundfolge <-n>

Was ist hier mit Grundfolge gemeint? Kann ich dieses 2n und -n einfach für x einsetzten? Was ist dann n?

Ich nehme an, Du meinst den Term $\begin{eqnarray*} f(x)=0,2^x \end{eqnarray*}$

Das n steht für eine natürliche Zahl, die hochläuft. Was die Ausdrücke -n und 2n bedeuten, dürfte Dir dann klar sein.

Du hast recht: die werden für x eingesetzt, hochgefahren und dann geschaut, was f(x) macht. Wogegen konvergiert oder divergiert es?

Viele Grüße
Steffen

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