Differentialgleichung. Welche Eigenschaften stimmen?

19.07.2011, 11:15

DGL_dweeb

Differentialgleichung. Welche Eigenschaften stimmen?

Meine Frage:
Hallo mit einander.
Ich habe eine Aufgabe, bei der ich mir nicht ganz sicher bin, ob ich diese richtig "gelöst" habe. Die Frage lautet:

Auf die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} x*y' - y = x^{3}*\cos(x) \end{eqnarray*}$ treffen folgende Eigenschaften zu:
1.) autonom
2.) explizit
3.) implizit
4.) linear
5.) nichtlinear
6.) Ordnung 3

Meine Ideen:
Ich habe mich für die Antworten 2.) "implizit" (da sie nicht nach der höchsten Ableitung aufgelöst ist) und 4.) "linear" entschieden! Aber stimmt das überhaupt so?!

19.07.2011, 11:38

allahahbarpingok

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Ich stimmt dir zu. Was autonom bedeutet, weiß ich jedoch nicht.

19.07.2011, 12:30

DGL_dweeb

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okay, vielen dank für die schnelle antwort!
zu autonom habe ich nur folgendes gefunden:

Eine DGL, die nicht explizit von t abhängt
$\begin{eqnarray*} F(y(t),y'(t),y''(t).....y^{n} (t)) = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y^{n} = f(y,y',....,y^{n-1}) \end{eqnarray*}$
heißt autonom.

könntest du vielleicht auf folgende Frage beantworten?!
Es gibt eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{2x2} \end{eqnarray*}$ ,
1.) die zwei reelle Eigenwerte hat.
2.) die einen reellen und einen echt komplexen Eigenwert hat
3.) die die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 2 + i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 3 - i \end{eqnarray*}$ hat.
4.) die die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_{1} = 4 + 5i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{2} = 4 - 5i \end{eqnarray*}$ hat.
5.) die keine Eigenwerte hat.

Meine Lösungen wären Antwort 1.) 2.) 4.) 5.)

19.07.2011, 13:14

allahahbarpingok

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Ich denke das stimmt alles, wobei ich Aussage 4 nicht geprüft habe. Nur mit Aussage 2 bin ich unsicher, denn das chrakteristische Polynom einer 2x2-Matrix $\begin{eqnarray*} \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist 2-ten Grades. Die Mitternachtsformel offenbart die Lösungen. Insbesondere sind beide komplex oder reell. Ein Mischmasch kann es nicht geben.

19.07.2011, 13:26

DGL_dweeb

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okay vielen Dank.

gut zu 4.) wäre das hier eine mögliche lösung:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4*1*9}}{2*1} \end{eqnarray*}$
(wenn ich mich jetzt nicht irre Erstaunt1

)

aber wenn das charakteristische polynom 2ten grades ist, dann würde ich antwort 2.) auch ausschließen!

19.07.2011, 13:29

DGL_dweeb

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edit:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1/2}=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4*1*41}}{2*1} \end{eqnarray*}$

das ist die richtige gleichung Ups

19.07.2011, 13:36

allahahbarpingok

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Jop kommt hin.

Korrigiert:
Hier mal eine Matrix, die genau das kann:

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 8 & -41 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

19.07.2011, 13:52

DGL_dweeb

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vielen Danke!
was ich allerdings noch fragen wollte:

meinst du mit

Zitat:

Original von allahahbarpingok
Ich denke das stimmt alles, wobei ich Aussage 4 nicht geprüft habe. [...]

MEINE antworten, oder die gegebenen?
Denn für eine quadratische Gleichung können keine zwei unterschiedlichen komplexen Lösungen entstehen, oder?

19.07.2011, 14:00

allahahbarpingok

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Ich meine deine Antworten. Wobei mir grad noch auffällt das Antwort 5 falsch ist ;D. Wie schon gesagt erhälst du immer ein Polynom 2-ten Grades. Der Grad des Polynoms gibt die Anzahl der Nullstellen wieder. Es kann doppelte Nullstellen geben. Bsp.: x^2 = 0. Aber es muss mindestens eine geben. Womöglich ist diese dann sogar komplex.

edit: Du kannst es dir einfach selber herleiten. Wie sieht eine 2x2-Matrix allgmein aus?

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und da machst du jetzt einfach chrakteristisches Polynom. Dann sieht man alles sofort.

19.07.2011, 15:25

DGL_dweeb

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stimmt eigentlich!

dann vielen dank, du hast mir wirklich sehr geholfen Gott

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