Wirtinger Kalkül

19.07.2011, 10:38	JuPee	Auf diesen Beitrag antworten »
Wirtinger Kalkül Hallo, ich bin gerade für die bevorstehende Funktionentheorie-Klausur am lernen und habe eine Frage zum Wirtinger-Kalkül: Aufgrund der C-R-DGL weiß ich, dass $\begin{eqnarray} f(x+iy)=\frac{x}{x^{2} +y^{2} }-i \frac{y}{x^{2} +y^{2} } \end{eqnarray}$ komplex diff'bar in $\begin{eqnarray} \mathbb C \setminus \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ ist. Wie hätte ich dies jetzt mit dem Wirtinger Kalkül ausgerechnet? Ich weiß, dass dafür $\begin{eqnarray} f_{z}=0 \end{eqnarray}$ gelten muss, aber was bedeutet das jetzt genau?
19.07.2011, 14:06	Quadratzahl-Jan	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, du musst nur nachrechnen, dass $\begin{eqnarray} \frac12\left(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\right)=0 \end{eqnarray}$ gilt. Dafür brauchst du also die partiellen Ableitungen von f nach x und nach y. Die Rechnung geht glatt durch.
19.07.2011, 14:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f(z) = \frac{x - \operatorname{i}y}{x^2 + y^2} = \frac{\bar{z}}{\|z\|^2} = \frac{\bar{z}}{z \bar{z}} = \frac{1}{z} \end{eqnarray}$ Und die Holomorphie ist klar, da $\begin{eqnarray} \bar{z} \end{eqnarray}$ verschwunden ist.

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