Lösung einer homogenen differentialgleichung 2. Ordnung mit sin/cos ansatz |
| 19.07.2011, 20:58 | chris2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lösung einer homogenen differentialgleichung 2. Ordnung mit sin/cos ansatz Hallo. ich möchte folgende differentialgleichung zweiter ordnung lösen: x'' + g²*x =0 somit ergibt sich folgende charakteristische Gleichung: x² + g² = 0 und die Lösungen x1/2 = +-g Ich möchte allerdings als Lösung den Sinus-Kosinus lösungsansatz machen. dabei soll g eine reele konstante sein. wie mach ich das? ich wüsste wie man es macht wenn g komplex ist. Aber wie funktioniert ein sinus bzw. kosinus ansatz wenn g reel ist? Wäre für eure Hilfe sehr dankbar. Viele Grüße Chris Meine Ideen: ich habe noch keine idee |
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| 19.07.2011, 21:03 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ergeben sich zwei e-Funktionen als Lösungen. e hoch Nullstelle. Das ist übrigens auch im Komplexen so. Komplexe Exponenten bei einer e-Funktion ergeben Sinus und Kosinus. Edit: Deine Lösung ist übrigens falsch. Deine Nullstellen können gar nicht reell sein, sondern sind komplex. |
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| 19.07.2011, 21:09 | chris2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
x1/2 ist nicht die lösung der differentialgleichung, sondern nur die lösung der charakteristischen gleichung. mir ist klar das ich dann den lösungsansatz als x = C1*e^(x1)*x + C2*e^(x2) *x machen kann. Aber ich möchte das ganze als sinus und kosinus ausgedrückt haben, auch wenn x1 und x2 reel sind. Wieso ist meine lösung komplex? |
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| 19.07.2011, 21:15 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. 
Setzt doch mal x1 = g ein. Dann steht da g² + g² = 0. Das stimmt doch aber nicht. |
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| 19.07.2011, 21:17 | chris2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm richtig. also müsste mein x1 = j*g sein, oder? und mein x2 = -j*g ? |
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| 19.07.2011, 21:25 | chris2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also hab ich dann als lösung: x = e^0x *(C1*sin(g*x) + C2*cos(g*x)) = C1*sin(g*x) + C2*cos(g*x) ist das richtig? |
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| 19.07.2011, 21:29 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jawohl! 
Und wenn es eine rein reelle Zahl ist, dann ist die Lösung eben nur eine e-Funktion (klassisch reell). |
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| 19.07.2011, 21:31 | chris2011 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok gut. danke für deine große Hilfe! Find ich sehr nett von dir! Gruß Chris |
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| 19.07.2011, 21:32 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dafür bin ich hier.
Meld dich, wenn es noch Fragen gibt! |
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