Integralsatz von Gauß

19.07.2011, 21:44

Gast11022013

Integralsatz von Gauß

Meine Frage:
Mal eine vermutlich ganz blöde Frage:

Ich habe mich jetzt immer mit dem Integralsatz von Gauß befasst, aber ich habe immer noch nicht verstanden, inwiefern der das n-dimensionale Analogon zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist...

Könnte mir das vielleicht jemand verständlich machen?

Danke!

Meine Ideen:
...

19.07.2011, 21:49

Cordovan

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Nimm als Integrationsgebiet ein Intervall, sagen wir [a,b].

Was ist dann der Rand? Die Normale am Rand? Was ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{div}F \end{eqnarray*}$ ?

Cordovan

19.07.2011, 23:10

Gast11022013

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Also der Rand besteht aus den Punkte a und b, würde ich meinen.

Aber was ist die äußere Normale?

Und was für ein Vektorfeld F meinst Du?

19.07.2011, 23:14

Cordovan

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Für $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ nehmen wir ein beliebiges differenzierbares Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , gemeinhin auch Funktion genannt.

Der Rand ist richtig.

So, zum Normalenfeld $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ : das ist auch ein Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \{a,b\}\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ , definiert auf den beiden Randpunkten $\begin{eqnarray*} \{a,b\} \end{eqnarray*}$ . Wenn es nach außen zeigen und Einheitslänge haben soll, was muss dann $\begin{eqnarray*} N(a) \end{eqnarray*}$ und was muss $\begin{eqnarray*} N(b) \end{eqnarray*}$ sein (wir nehmen a<b an)?

Cordovan

19.07.2011, 23:31

Gast11022013

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Okay.

Der Rand ist die Menge $\begin{eqnarray*} \left\{a,b\right\} \end{eqnarray*}$ .

Die Divergenz ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} f \end{eqnarray*}$ .

Jetzt muss der äußere Einheitsnormalenvektor beim Punkt b zeigt nach rechts zeigen und der beim Punkt a nach links.

Dann wäre ich bei:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \frac{\partial}{\partial x}f dx=\int_{\left\{a,b\right\}}<F,v> dS \end{eqnarray*}$

Irgendwie häng ich hier jetzt.

19.07.2011, 23:34

Cordovan

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Das sieht doch schonmal ganz gut aus.

Zitat:

Die Divergenz ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial x} f \end{eqnarray*}$ .

Genau. Da wir nur eine Variable haben, können wir auch $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ schreiben.

Zitat:

Jetzt muss der äußere Einheitsnormalenvektor beim Punkt b zeigt nach rechts zeigen und der beim Punkt a nach links.

Genau. Einheitslänge bedeutet $\begin{eqnarray*} N(\{a,b\})=\{-1,1\} \end{eqnarray*}$ , also setzen wir $\begin{eqnarray*} N(a)=-1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} N(b)=1 \end{eqnarray*}$ . Das Skalarprodukt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist das gewöhnliche Produkt in den reellen Zahlen.

Bringt dich das weiter?

Cordovan

19.07.2011, 23:48

Gast11022013

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Das heißt, man hat da jetzt stehen:

$\begin{eqnarray*} \int_{\left\{a,b\right\}}f\cdot v dS \end{eqnarray*}$ .

[Ich schreibe jetzt mal immer ein kleines f.., eben hab ich mal groß und mal klein geschrieben...]

Im Moment komme ich da nicht weiter, aber vllt. später noch.

Insbesondere frage ich mich, was hier dS ist.

19.07.2011, 23:54

Cordovan

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Ja, es geht hier um ein Integral auf einer zweielementigen Menge. Bei dieser endlichen Menge bedeutet das einfach

$\begin{eqnarray*} \int_{\{a,b\}}f\cdot N~\dd S=f(a)N(a)+f(b)N(b) \end{eqnarray*}$ .

Bedenke, dass wir hier ein nulldimensionales Maß haben!

Cordovan

19.07.2011, 23:57

Gast11022013

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Okay, da kommt f(b)-f(a) heraus.

Letzte Frage: Was ist mit dS?

Ich kenne das als Oberflächenelement und man kann es konkret berechnen.

Wie ist das hier?

20.07.2011, 00:06

Cordovan

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Das Integral auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens ist einfach das Lebesgue-Integral auf der Mannigfaltigkeit / Fläche $\begin{eqnarray*} \partial M \end{eqnarray*}$ , in unserem Fall $\begin{eqnarray*} \{a,b\} \end{eqnarray*}$ . Dessen Dimension ist um eins geringer als die Dimension der Mannigfaltigkeit / Fläche $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , in unserem Fall also nulldimensional. Daher kommt das raus, was du auch oben geschrieben hast.

Den Begriff "Oberflächenelement" kenne ich nur in dem Fall, dass F ein dreidimensionales Vektorfeld ist. Wie ist denn die allgemeine Berechnungsformel dafür?

Cordovan

20.07.2011, 00:15

Gast11022013

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Im Forster steht [im Zusammenhang mit Integration über Untermannigfaltigkeiten]:

$\begin{eqnarray*} dS=\sqrt{g(t)}d^kt \end{eqnarray*}$ , wobei unter der Wurzel die Gramsche Determinante steht.

Edit:
Ich vermute mal, das läuft aufs Gleiche hinaus!

Dass also die Wurzel 1 ist und dann auch nur d^0t da steht, wie du sagst.

Da stellt sich überhaupt eine Frage für mich: Wie sehen Karten für null-dimensionale Untermannigfaltigkeiten aus... ist das einfach die Identitätsabbildung?? Das würde erklären, dass hier bei der Wurzel 1 rauskommt und man also echt nur das Nullmaß übrighat.

20.07.2011, 22:53

Gast11022013

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Also ich weiß nun aus diesem Thread, dass man zwei Karten bräuchte:

Karte für 0-dim. UMF?

Ich bin hier also in dem Fall, dass es endlich viele Karten gibt (2 Stück) und dass die Untermannigfaltigkeit $\begin{eqnarray*} \left\{a,b\right\} \end{eqnarray*}$ dann von den Bildern dieser beiden Karten überdeckt ist.

Laut Forster definiert man dann das Integral über eine solche Untermannigfaltigkeit M allgemein wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{M}f(x)dS(x)=\sum_{j=1}^{m}\int_M \alpha_j(x)f(x)dS(x) \end{eqnarray*}$ , wobei es sich bei den $\begin{eqnarray*} \alpha_j \end{eqnarray*}$ um eine Teilung der Eins handelt.

Weiter ist meines Wissen so ein einzelnen Integral über M dann definiert als

$\begin{eqnarray*} \int_{M}\alpha_j(x)f(x)dS(x):=\int_{T}\alpha_j(x) f(\varphi(t))\sqrt{g(t)}d^kt \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \varphi:T\to V\subset M \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} T\subset \mathbb R^k \end{eqnarray*}$ offen) die jeweilige Karte ist.

Das Ganze müsste man doch jetzt hier anwenden können?

Ich würde das gerne für dieses einfachere Beispiel mal ausrechnen, da müsste ja dann auch f(b)-f(a) herauskommen.

Edit:

$\begin{eqnarray*} M=\left\{a,b\right\}, m=2 \end{eqnarray*}$

Aber wie bestimmt man nun die Teilung der Eins und die beiden Gramschen Determinanten?

[dS hatte ich oben definiert und da braucht man die jeweilige Karte und die Wurzel aus der Gramschen Determinate bzgl. der jeweiligen Karte.]

20.07.2011, 23:40

tricky89

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meine idee

wähle $\begin{eqnarray*} \alpha_1(x)=0,5, \alpha_2(x)=0,5 \end{eqnarray*}$

dann hast du

[l]\int_{\left\{a,b\right\}0,5 f\cdot N dS_1(x) + \int_{\left\{a,b\right\}0,5 f\cdot N dS_2(x)

bei den maßtensoren hast du meiner meinung nach 1x1 matrizen mit determinante 1 und deswegen uist die wurzel auch eins

also dS_1=d^0x und auch d_2=d^0x und dann bist du in der situation die du haben willst dass nämlich f(b)-f(a) rauskommt.

aber lass lieber einen fachmann nochmal drüber gucken ist nur meine idee

20.07.2011, 23:43

tricky89

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sollte heißen

$\begin{eqnarray*} \int_{\left\{a,b\right\}}0,5 f\cdot N dS_1(x) + \int_{\left\{a,b\right\}}0,5 f\cdot N dS_2(x) \end{eqnarray*}$

20.07.2011, 23:59

Gast11022013

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Hallo, tricky89!

Generell würde ich meinen, daß Deine Idee stimmt oder zumindest in die richtige Richtung geht:

Sei $\begin{eqnarray*} \varphi_1 \end{eqnarray*}$ die Karte, die 0 (ich glaube, man kann auch jede andere einelementige Menge nehmen...) auf den Punkt a abbildet. Dann kann da ja als Funktionalmatrix irgendwie nur eine 1x1 - Matrix herauskommen mit dem Eintrag 1.

Der Maßtensor kann irgendwie auch nur aus diesem einen Eintrag bestehen und die Determinaten (und die Wurzel daraus) wären in der Tat 1.

[Oder ist das totaler Blödsinn??]

Ebenso für die Karte $\begin{eqnarray*} \varphi_2 \end{eqnarray*}$ , die 0 auf den Punkt b abbildet.

$\begin{eqnarray*} \int_{\left\{a,b\right\}}\alpha_1(x) f(x)N(x)dS(x)+\int_{\left\{a,b\right\}}\alpha_2(x) f(x)N(x)dS(x) \end{eqnarray*}$ , was meines Wissens dann ist:

$\begin{eqnarray*} \int_{T\subset\mathbb R^0}\alpha_1(a) f(\varphi_1(t)=a)N(\varphi_1(t)=a)\sqrt{1}d^0t+\int_{T}\alpha_2(b)f(b)N(b)\sqrt{1}d^0t \end{eqnarray*}$

Nun würde ich meinen, da T ja aus nur einem Punkt besteht und N(a)=1, N(b)=-1, kommt da heraus:

$\begin{eqnarray*} \alpha_1(a)f(a)-\alpha_2(b)f(b) \end{eqnarray*}$

Wie man allerdings dann die Teilung der Eins wählen kann, ist mir ein Rätsel.
Vielleicht: $\begin{eqnarray*} \alpha_1:=\chi_a, \alpha_2:=\chi_b \end{eqnarray*}$ oder so ähnlich... verwirrt

Überhaupt macht mich andererseits das hier dann stutzig, denn der Fall, dass k=0 ist, scheint da einfach gar nicht vorzukommen. Das heißt, entweder liege ich absolut falsch mit allem oder der Fall k=0 wurde hier einfach weggelassen, weil der so unwichtig ist.

Forster:

"Sei $\begin{eqnarray*} M\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit und $\begin{eqnarray*} \varphi:T\to V \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} T\subset \mathbb R^k, V\subset M \end{eqnarray*}$ offene Teilmengen) eine Karte von M. Bezüglich dieser Karte definiert man eine Matrix ("Maßtensior") aus Funktionen $\begin{eqnarray*} g_{ij}:T\to \mathbb R, 1\leq i, j\leq k \end{eqnarray*}$ durch
$\begin{eqnarray*} g_{ij}(t):=<\frac{\partial\varphi(t)}{\partial t_i},\frac{\partial\varphi(t)}{\partial t_i}>=\sum_{v=1}^{n}\frac{\partial \varphi_v(t)}{\partial t_i}\cdot \frac{\partial\varphi_v(t)}{\partial t_j} \end{eqnarray*}$ .

Wir bezeichnen mit $\begin{eqnarray*} g:=det(g_{ij}) \end{eqnarray*}$ ihre Determinante. Sie heißt Gramsche Determinante [...]"

Naja, nun hoffe ich auf eine aufklärende Antwort!

Wink

13.08.2011, 21:38

Gast11022013

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Darf ich diese Frage nochmal aufgreifen?

Mir ist (noch immer) unklar, wieso

$\begin{eqnarray*} \int_{\left\{a,b\right\}}f\cdot v dS=f(b)-f(a) \end{eqnarray*}$ ist.

Das v soll der äußere Einheitsnormalenvektor sein (der ist hier am Punkt a, also den linken "Rand" des Intervalls [a,b], ja -1 und am Punkt b entsprechend 1).

Mir ist eigentlich nur nicht klar, was man hier mit dem Oberflächenelement dS macht bzw., was damit passiert (wo taucht das in der Rechnung auf?)

Im letzten Beitrag habe ich versucht, mir das mit dem zu erklären, wie ich die Definition des Oberflächenelements aus Forster kenne.

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