Unendliche Reihe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz untersuchen

20.07.2011, 01:55

Cybron

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Unendliche Reihe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz untersuchen

Meine Frage:
Hallo,

mir ist da eine Aufgabe über den Kopf gestiegen.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty n!/n^n \end{eqnarray*}$

Habe sowohl mit der Notwendigen Bedingung für eine Divergenz
als auch der Hinreichenden für eine Konvergenz Schwierigkeiten.

Meine Ideen:
Notwendige Bedingung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} \end{eqnarray*}$

Divergenz wenn:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n!/n^n != 0 \end{eqnarray*}$

mir ist bewusst das n^n schneller wächst als n! leider
kriege ich den Ausdruck nicht umgeschrieben den

* Im Nenner ist unendlich ^ unendlich (unklarer Grenzwert?)
* Im Bruch ist unendlich / unendlich (unklarer Grenzwert?)

dennoch hab ich mich für den Grenzwert 0 entschieden.

Hinreichende Bedingung:

$\begin{eqnarray*} q = \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n+1} / a_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q = \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n+1} / a_{n} \end{eqnarray*}$

einige zwischen schritte später (vereinfacht)

$\begin{eqnarray*} q = \sum\limits_{n=1}^\infty (n/(1+n) )^n \end{eqnarray*}$

weiter komme ich nicht!
auch hier habe ich wie bei der Notwendigen Bedingung das Problem
dass ich durch unklare Grenzwerte nicht auf q komme.

Die Aufgabe nervt durch die ständigen infinitys.

20.07.2011, 05:13

tyger

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quotientenkriterium
Hi,

die $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ sind größer als 0.
Du müsstest jetzt kucken,ob

q=lim sup $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_{k}} \end{eqnarray*}$ < 1 gilt.

Also ob lim sup (n+1)!/ n! * (n^n)/n! < 1....
Gruß
Tsantsa

20.07.2011, 08:17

klarsoweit

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RE: Unendliche Reihe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz untersuchen

Zitat:

Original von Cybron
Hinreichende Bedingung:

$\begin{eqnarray*} q = \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n+1} / a_{n} \end{eqnarray*}$

Das ist keine Bedingung, sondern nur eine hingeknallte Gleichung ohne jegliche inhaltliche Substanz.

Scheint mir aber keine Schulmathe zu sein, daher --> verschoben.

20.07.2011, 13:12

Cybron

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RE: Unendliche Reihe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz untersuchen
ich wollte die formalitäten überspringen das eigentlich wichtige ist der letzte ausdruck.

Anhand von q lässt sich folgendes sagen, wenn

q < 1 konvergiert die reihe
q > 1 divergiert die reihe
q = 1 lässt sich anhand des kriteriums nichts sagen

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

20.07.2011, 13:25

klarsoweit

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RE: Unendliche Reihe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz untersuchen

Zitat:

Original von Cybron
ich wollte die formalitäten überspringen

Das ist keine gute Idee und führt nur zu Verwirrungen.

Zitat:

Original von Cybron
das eigentlich wichtige ist der letzte ausdruck.

Und welchen Ausdruck meinst du?

20.07.2011, 13:25

Keff91

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RE: Unendliche Reihe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz untersuchen
Falsch. Schau nochmal wie das q in Wirklichkeit definiert ist.

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20.07.2011, 13:50

Cybron

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RE: Unendliche Reihe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz untersuchen
ah ich sehe, sigma weg limes rein! sry!
werdet ihr mir aber nun helfen oder nicht?

20.07.2011, 13:54

klarsoweit

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RE: Unendliche Reihe mit dem Quotientenkriterium auf Konvergenz untersuchen
Gerne, wenn du verrätst, wo es klemmt. tyger hatte dir ja einen Vorschlag gemacht.

20.07.2011, 14:07

Cybron

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RE: quotientenkriterium

Zitat:

Original von tyger
Hi,

die $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ sind größer als 0.
Du müsstest jetzt kucken,ob

q=lim sup $\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_{k}} \end{eqnarray*}$ < 1 gilt.

Also ob lim sup (n+1)!/ n! * (n^n)/n! < 1....
Gruß
Tsantsa

wie kommst du denn bitte auf diesen ausdruck?

sollte der ausgangsquotient nicht so aussehen:

((n+1)!/(n+1)^(n+1)) / (n!/n^n)

((n+1)! * n^n/(n+1)^(n+1) * n!)

((n! * (n+1) * n^n/(n+1)^(n+1) * n!)

((n! * (n+1) * n^n/(n+1) * (n+1)^(n) * n!)

und nach dem kürzen

bleibt bei mir

n^n / (n+1)^(n)

(n / (n+1))^(n)

jetzt habe ich probleme den grenzwert zu bilden
die potenz macht mir alles kaputt denn ohne die potenz würde ich n ausklammern

ohne potenz:

(n / (n+1))

n/n * ( 1 / (1+1/n))

limes ( 1 / (1+1/n))

limes ( 1 / (1+0))

limes 1/1

limes 1 = 1 = q

jetzt müsste ich doch wieder die potenz ins spiel bringen???
sry ich hab für die aufgabe einfach keinen überblick mehr sitze ziemlich lange dran.

20.07.2011, 14:13

klarsoweit

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RE: quotientenkriterium

Zitat:

Original von Cybron
(n / (n+1))^(n)

jetzt habe ich probleme den grenzwert zu bilden

Wieso? $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^n \end{eqnarray*}$ ist doch ein in der Analysis bekannter Grenzwert.

Da muß man schon in einen Tiefschlaf verfallen sein, wenn man den noch nie gesehen hat. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.07.2011, 14:19

Cybron

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RE: quotientenkriterium
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1}) )^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1) \end{eqnarray*}$

meinst du das? das problem ist einfach dass ich zu oft diese aufgabe mit unterschiedlichen wegen berechnet habe und nun keinen klaren kopf mehr habe und gerade aufgestanden bin ^^ saß noch gestern an weiteren aufgaben dran.

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

20.07.2011, 14:21

klarsoweit

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RE: quotientenkriterium
Nein, ich meine das: http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl

20.07.2011, 14:39

Cybron

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ich dachte bei der euler wär es genau andersrum

(n+1/n)^n

???

dennoch suche ich eine begründung wieso das was ich am ende gemacht habe nicht funktioniert? denn in meinem mathebuch unter rechnenregel für grenzwerte einer funktion steht das in die potenz beim betrachten von limes ausklammern kann .... ???

bei der klausur möchte ich ungern den fehler nochmal machen.

20.07.2011, 14:44

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cybron
ich dachte bei der euler wär es genau andersrum

(n+1/n)^n

Heidinei, dann machen wir es eben andersrum:

$\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^n = \frac{1}{(\frac{n+1}{n})^n} \end{eqnarray*}$

Also etwas mehr geistige Beweglichkeit kann an der Uni nicht schaden. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Cybron
dennoch suche ich eine begründung wieso das was ich am ende gemacht habe nicht funktioniert?

Man darf eben nicht von einem Teil des Terms den Grenzwert bilden und von einem anderen Teil nicht.

20.07.2011, 15:57

Cybron

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so gefrühstückt und mit voller energie wieder zurück.

ich sehe nun meine probleme, bisher hatte ich keine aufgabe
in form von zahl^unendlich, den trick mit e^limes (n*ln(..)) habe ich mir
nochmal mit wolfram alpha zeigen können.

bis demnächst und danke!

20.07.2011, 16:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cybron
ich sehe nun meine probleme, bisher hatte ich keine aufgabe
in form von zahl^unendlich

Hmm. Sollte es wirklich eine Vorlesung geben, wo $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (\frac{n+1}{n})^n = e \end{eqnarray*}$ noch nicht besprochen wurde? verwirrt

verwirrt

Das mit dem Trick mit e^limes (n*ln(..)) ist zwar ganz nett, aber in diesem Fall unnötig.

20.07.2011, 16:35

Cybron

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nah wenn du alle deine Vorlesungen wie ein Rekorder im Kopf hast Respekt.
die Betonung lag auf bisher, mag sein dass in den späteren aufgaben ein Dutzend solcher aufgaben noch folgt.

so muss jetzt aber weiter lernen.

21.07.2011, 08:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von Cybron
nah wenn du alle deine Vorlesungen wie ein Rekorder im Kopf hast Respekt.

Das ist wie das Einmaleins der Grundschule. Solche grundlegenden Dinge lernt man einmal und weiß das auch noch 30 Jahre später.

21.07.2011, 13:30

Cybron

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bin mir nicht sicher was du nun von mir möchtest?
siehst du nicht dass ich in mathe nicht hochbegabt bin?

deswegen bin ich doch am pauken und hole mir hier hilfe.
nun lass mich bitte in ruhe.

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