Erwartungswert stetige Zufallsvariable

20.07.2011, 12:20

Stochastiker :)

Erwartungswert stetige Zufallsvariable

Meine Frage:
Wenn man den Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable bestimmen möchte, so muss man laut definition zunächst prüfen, ob die folgende Bedingung erfüllt ist:
$\begin{eqnarray*} \int |x| f(x) dx < \infty \end{eqnarray*}$

Ist das erfüllt, so muss man dann den Erwartungswert selbst erst bestimmen über
$\begin{eqnarray*} E[X]=\int x f(x) dx \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage: Reicht es nicht einfach das untere Integral (ohne Betragsstriche) zu bestimmen und zu schauen, ob es einen Wert ergibt? Gibt es wirklich Fälle, wo die obere Formel unendlich ergibt, die untere Formel aber einen Wert - der dann aber nicht der Erwartungswert wäre?

Meine Ideen:
Ich denke mal schon, dass es solche Fälle gibt, da sonst die obere Bedingung für die Existenz eines Erwartungswertes wenig Sinn machen würde. Aber ich kenne kein solches Beispiel!

20.07.2011, 13:42

Huggy

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RE: Erwartungswert stetige Zufallsvariable
Beschränken wir uns mal auf den Fall, dass X eine riemannintegrierbare Dichtefunktion f(x) hat. Damit deren Erwartungswert existiert, muss das doppekt uneigentliche Integral

$\begin{eqnarray*} E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx \end{eqnarray*}$

existieren. Wenn man es bei 0 aufspaltet, heißt das, es müssen die beiden Grenzwerte in

$\begin{eqnarray*} E(X)=\lim_{a \to \infty} \int_{-a}^0 xf(x)dx + \lim_{b \to \infty} \int_0^b xf(x)dx \end{eqnarray*}$

existeren. Wegen der Aufspaltung bei 0 ist der eine Integrand nicht negativ, der andere nicht positiv. Die Existenz der beiden Grenzwerte ist damit identisch zur absoluten Integrierbarkeit der Teilintegrale und damit zur absoluten Integrierbarkeit des Gesamtintegrals. Der Fall, dass die Grenzwerte mit x im Integranden existieren mit |x| aber nicht, kann also gar nicht eintreten.

Zu der irrigen Auffassung, das könne passieren, gelangt man nur, wenn man die beiden Grenzwerte nicht unabhängig voneinander betrachtet, zum Beispiel, wenn man a = b ansetzt und dann nur den Grenzwert

$\begin{eqnarray*} E(X)=\lim_{a \to \infty} \int_{-a}^a xf(x)dx \end{eqnarray*}$

betrachtet. Das ist aber unzulässig. Würde man b = ca ( c ungleich 0)setzen, kann man in Abhängigkeit von c ziemlich beliebige Ergebnisse erzeugen.

Das bekannteste Beispiel einer Verteilung ohne Erwartungswert und höhere Momente ist die Cauchy-Verteilung.

20.07.2011, 15:15

Stochastiker :)

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Vielen Dank!

Bleibt die Frage, ob es nicht ausreicht einfach den Erwartungswert zu berechnen, ohne vorher zu prüfen, ob das Integral mit dem Betragsstrich existiert. Wie du schon sagtest bedeutet ein Existieren des unteren Integrals automatisch, dass das obere ebenfalls existiert. Man müsste also eigentlich gar nicht das obere berechnen, wenn unten schon ein Wert heraus kommt.

Ich frage mich quasi, wozu man immer noch extra das Integral mit den Betragsstrichen berechnen muss, wenn die das Integral ohne Betragsstrich eh ausreicht. (falls existent, ist es der Grenzwert - falls unendlich/-unendlich, so ist auch das obere Integral unendlich und ein Erwartungswert existiert nicht)

Dagegen würde nur sprechen, falls es einen Fall gibt, wo das untere Integral einen Wert a herausbekommt, das obere mit den Betragsstrichen aber unendlich, sodass der Wert a eben nicht der Erwartungswert ist.

20.07.2011, 15:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stochastiker
Dagegen würde nur sprechen, falls es einen Fall gibt, wo das untere Integral einen Wert a herausbekommt, das obere mit den Betragsstrichen aber unendlich, sodass der Wert a eben nicht der Erwartungswert ist.

Ich kann nur nochmal Huggys Ausführungen bestätigen: Diesen Fall gibt es nicht, sofern das an beiden Enden uneigentliche Integral "ordentlich" berechnet wird, d.h. nicht derart fehlerhaft, wie es Huggy als Fehlermöglichkeit im letzten Abschnitt angesprochen hatte.

Zerbrich dir nicht unnötig lange den Kopf darüber: Der Grund dafür, mit diesem Integral $\begin{eqnarray*} \int |x| f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$ zu operieren, liegt vermutlich darin, dass dieser Integralwert in $\begin{eqnarray*} \bar{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{\infty\} \end{eqnarray*}$ immer existiert und im Falle der Endlichkeit in einem einzigen Wert kennzeichnet, dass die uneigentlichen Teilintegrale $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^0 xf(x) ~\dd x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty} xf(x) ~\dd x \end{eqnarray*}$ beide existieren. Das heißt nicht, dass man den Wert in der praktischen Berechnung auch heranziehen muss - die Betrachtung der beiden genannten Teilintegrale reicht.

20.07.2011, 15:50

Stochastiker :)

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Ups, das hatte ich so nicht verstanden. Damit wäre es geklärt, danke euch beiden. Big Laugh

Nun wundert mich nur noch, warum wir das Betragsintegral immer ausgerechnet haben, bevor das richtige Integral (und damit den EW) zu bestimmen... verwirrt

20.07.2011, 16:11

Huggy

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Zitat:

Original von Stochastiker
Nun wundert mich nur noch, warum wir das Betragsintegral immer ausgerechnet haben, bevor das richtige Integral (und damit den EW) zu bestimmen... verwirrt

Wenn man das Betragsintegral berechnet, dann doch üblicherweise auch in der Form, dass man es bei x = 0 aufspaltet und die beiden Teilintegrale getrennt berechnet, denn mit einem |x| im Integranden lässt sich formelmäßig nur schwer arbeiten.

Wenn man das Betragsintegral aber aufspaltet, macht man genau dieselbe Arbeit, die man machen würde, wenn man den Erwartungswert korrekt über die beiden Teilintegrale berechnet. Der einzige Unterschied ist, dass das eine Teilintegral mit unterschiedlichen Vorzeichen auftaucht.

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