Maßwechsel und bedingte Erwartung |
| 20.07.2011, 17:37 | Lisa_89 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Maßwechsel und bedingte Erwartung Ich muss das beweisen: F"ur beliebige adaptierte Prozesse $\{x_t\}$ und beliebige $ 0 \leq s \leq t \leq T$ gilt: \[ \frac{E_P (z_t x_t|\mathcal{F}_s)}{E_P (z_t| \mathcal{F}_s)} = E_Q( x_t| \mathcal{F}_S)\] \end{Theorem} Den Beweis habe ich auch gegeben: Als erstes, wegen der Definition der bedingten Erwartung gilt: \[ E_P(z_t x_t| \mathcal{F}_s) =\frac{\sum_{\xi \in \mathcal{F}_s(\omega)} P(\xi) z_t(\xi) x_t (\xi) }{\sum_{\xi \in \mathcal{F}_s(\omega)} P(\xi)}\] \[ E_P(z_t| \mathcal{F}_s) =\frac{\sum_{\xi \in \mathcal{F}_s(\omega)} P(\xi) z_t(\xi)}{\sum_{\xi \in \mathcal{F}_s(\omega)} P(\xi)}\] Daher \[\frac{E_P (z_t x_t|\mathcal{F}_s) (\omega) }{E_P (z_t| \mathcal{F}_s) (\omega) } =\frac{\sum_{\xi \in \mathcal{F}_s(\omega)} P(\xi) z_t(\xi) x_t (\xi) }{\sum_{\xi \in \mathcal{F}_s(\omega)} P(\xi) z_t(\xi)}\] Zweitens, wegen der Definiton des Dichteprozesses gilt: \[ z_t(\xi) = E_P \Big(\frac{Q}{P}|\mathcal{F}_t (w)\Big) = \frac{\sum_{\xi \in \mathcal{F}_t (w)} \frac{Q(\xi)}{P(\xi)}}{\sum_ {\xi \in \mathcal{F}_t(w)} P(\xi)} = \frac{Q[ \mathcal{F}_t(w)]}{P [ \mathcal{F}_t (w)}\] und wir erhalten:\[z_t(\xi) = \frac{Q [\mathcal{F}_t (\xi)]}{P [ \mathcal{F}_t(\xi)]} \] \[\frac{E_P (z_t x_t|\mathcal{F}_s) (\omega) }{E_P (z_t| \mathcal{F}_s) (\omega) } =\frac{\sum_{j=1}^u \sum_{\xi \in \mathcal{F}_j} P(\xi) z_t(\xi) x_t (\xi) }{\sum_{j=1}^u \frac{Q (f_j)}{P (f_j) }P( f_j)}\] \[ =\frac{\sum_{j=1}^u \frac{ Q (f_j)}{P ( f_j)} P (f_j) x_t (f_j)}{\sum_{j=1}^u Q(f_j)}\] \[ = E_Q (x_t| \mathcal{F}_s) (\omega) \] \hfill$\Box$ Meine Frage lautet nun, wie ich die bedingte Erwartung definieren muss, um auf dieses Ergebnis zu kommen? Kann mir da bitte wer weiterhelfen? Meine Ideen: . |
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