Tangentialebene bestimmen

20.07.2011, 21:06	Kinderschokolade	Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentialebene bestimmen Man bestimme die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche z=x^2+3y^2 im Punkt (3,-1,12) Mich verwirrt hauptsächlich die Notation. ich hab es einfach mal so gemacht f(x,y,z)= x^2+3y^2-z=0 jetzt bestimme ich den gradienten: grad(f)=(2x,6y,1) das heißt unsere eben im gegebenen Punkt ist: E: (3,-1,12)+a*(6,-6,1) Ist das richtig so? wie gesagt hauptsächlich verunsichert mich die Notation..
20.07.2011, 21:18	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechenfehler: NICHT grad(f)=(2x,6y,1), sondern grad(f)=(2x,6y,-1) Und: Die Gleichung der Tangentialebene stimmt bei dieser Schreibweise so auch nicht. Was ist bei dir a? mY+
20.07.2011, 21:50	Kinderschokolade	Auf diesen Beitrag antworten »
ups, stimmt a ist einfach eine variable, damit ich jeden Punkt auf der Ebene erreiche. und während ich das schreibe fällt mir schon auf dass es momentan nur eine gerade im R3 ist. Okay, wenn es so nicht geht.. Wie gehe ich dann vor? Meine idee: Angenommen ich weiß wie f(x,y,z) aussieht: Dann kann ich ja df/dx, df/dy df/dz in jeder richtung bestimmen. Diese spannen nun die Ebene auf. Problem: ich habe drei vektoren, die nun aber einen Raum aufspannen....
20.07.2011, 22:16	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Tangentialebene im Punkt $\begin{eqnarray} \vec {X_0} = (x_0; y_0; z_0) \end{eqnarray}$ der Fläche $\begin{eqnarray} z = f(x,y) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} f(x,y) - z = 0 \end{eqnarray}$ lautet $\begin{eqnarray} E_{\tau} \end{eqnarray}$ in Normalvektorform $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} f_{x_0} \\ f_{y_0} \\ -1 \end{pmatrix} (\vec x - \vec{x_0}) = 0 \end{eqnarray}$ oder (in Koordinatenform) $\begin{eqnarray} z - z_0 = f_{x_0}(x - x_0) + f_{y_0}(y - y_0) \end{eqnarray}$ Edit: 0-Indices bei den partiellen Ableitungen in den letzten beiden Zeilen hinzugefügt. Beide Schreibweisen bezeichnen dieselbe Gleichung der Tangentialebene, der Zusammenhang sollte klar sein. So, und nun mach' etwas daraus! mY+ Nachtrag zu deiner Idee: Die von dir genannten Ableitungen sind die Richtungsableitungen, sie spannen keineswegs die Ebene direkt auf, sondern sie sind die Komponenten des Normalvektors der gesuchten Tangentialebene.
20.07.2011, 22:31	Kinderschokolade	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} f_{x}= 3x^2; \ f_{y}= 6y\\ \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} z-12= 3x^2 * (x-3) + 6y* (y+1) \end{eqnarray}$ sollte dann also stimmen. Nur zum verständnis der formel: Angenommen dort stünde z^2= .... Dann müsste ich dort ebenso $\begin{eqnarray} f_{z} * (z- z_{0}) \end{eqnarray*}$ schreiben oder? In diesem fall fällt das ja nur weg...
20.07.2011, 23:33	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so stimmt das mehrfach nicht! fx ist zunächt einmal falsch .. (wie rechnest du dies? Oder gibt es einen Angabefehler?) Die Ebene sollte ausserdem doch durch eine lineare Gleichung beschrieben sein und bei dir ist die Gleichung quadratisch bzw. sogar kubisch! Worauf verstärkt hinzuweisen ist, ist, dass die partiellen Ableitungen fx, fy an der Stelle x0, y0 des gegebenen Punktes zu berechnen sind, sodass diese gar kein x oder y, sondern nur noch reine Zahlenwerte enthalten. Es muss also der Gradientenvektor für den bestimmten gegebenen Punkt berechnet werden. So sollte dann exakter geschrieben fx0, fy0 dort stehen. Ich werde dies in dem Beitrag noch editieren. Also: E: z-12 = 2x0 (x-3) + 6y0 (y+1), darin ist nochmals für x0 = 3 und für y0 = -1 einzusetzen! Nur die erste Schreibweise der Tangentialebene (mit dem Gradienten bzw. Nabla-Operator) gibt in keinem Fall zu einem Missverständnis Anlass, denn dort steht ja tatsächlich der Wert der Richtungsableitungen bei x0, y0, ... Und: Wenn in der Funktionsgleichung z.B. $\begin{eqnarray} z^2 \end{eqnarray}$ steht, dann ist - zur Bestimmung des Gradientenvektors - selbstverständlich auch dort die Ableitung (2z) zu bilden, klar. mY+
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