Schon fast Triviales wie mit Modulo

17.12.2006, 19:16

Mathieri

Schon fast Triviales wie mit Modulo

Beweisen Sie folgende Aussagen:
1. Zieht man von einer natürlichen Zahl ihre Ziffernsumme ab, dann ist das Ergebnis durch 9 teilbar.
2. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 9 (bzw. 3) teilbar, wenn ihre Ziffernsumme es ist.
3. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Ziffernsumme es ist.
4. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch 2 (bzw. 5) teilbar, wenn ihre Einerziffer es ist.

(Ziffernsumme = Quersumme)
Ich krieg die Kriese. Das scheint alles so einfach, dass es schon wieder zu hoch für mich ist.
Das Fach heißt "Mathematische Grundlagen" und wurde eingeführt, weil Lineare Algebra I im ersten Semester zu schwer war. Leicht ist so triviales Zeugs aber auch nicht.

PS: Gibt es eine Seite, wo ich mit die Latex Befehle in einer Übersicht angucken kann und welcher Editor ist der beste für MiKTeX?

17.12.2006, 19:25

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Kann ich - nach deiner Überschrift zu urteilen - davon ausgehen, dass du die Modulrechnung, zumindest deren allernotwendigste Grundlagen kennst?

P.S.: Was studierst du denn?

17.12.2006, 20:13

Mathieri

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... Hätte ich es bloß nicht geschrieben ...

Aufgabe 3.
Seien $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ Zeigen Sie, dass es $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gibt mit
ggT(m,n) = am + bn.

Aufgabe 4.
2. Seien $\begin{eqnarray*} n1,n2 \end{eqnarray*}$ zwei teilerfremde natürliche Zahlen. Laut Aufgabe 3 gibt es $\begin{eqnarray*} a1,a2 \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit a1n1 +a2n2 = 1. Zeigen Sie, dass aus x mod n1 = r1 und x mod n2 = r2
folgt, dass $\begin{eqnarray*} (x - r1a2n2 - r2a1n1) mod (n1n2) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Aufgabe 5.
Seien $\begin{eqnarray*} m,n,p \end{eqnarray*}$ natürliche Zahlen. Sei $\begin{eqnarray*} m mod n = r \end{eqnarray*}$ . Weisen Sie nach, dass
$\begin{eqnarray*} (m + p) mod n = (r + p) mod n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (m * p) mod n = (r * p) mod n \end{eqnarray*}$
Folgern Sie: Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n = \{ 0,...,n-1\} \end{eqnarray*}$ ist mit der Addition
$\begin{eqnarray*} x +_n y := (x+y) mod n \end{eqnarray*}$
und der Multiplikation
$\begin{eqnarray*} x *_n y := (x+y) mod n \end{eqnarray*}$
(wobei auf der rechten Seite jeweils die übliche Addition und Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ gemeint ist) ein kommutativer Ring. Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} 0 \neq x \in \mathbb R_n \end{eqnarray*}$ ist genau dann bez¨uglich n invertierbar, wenn $\begin{eqnarray*} ggT(x,n) = 1 \end{eqnarray*}$ . Daher ist Rn genau dann ein Körper, wenn n eine Primzahl ist. Ist n keine Primzahl, so ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n \end{eqnarray*}$ kein Integritätsbereich.

Diese 3 Aufgaben können als gegeben vorrausgesetzt werden. Darüber hinaus wissen wir offiziell nichts.
Das, was im obersten Post steht ist Aufgabe 6 smile

Edit: Indizes in LaTeX-Schreibweise gebracht.

17.12.2006, 20:25

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Zitat:

Original von Mathieri
Diese 3 Aufgaben können als gegeben vorrausgesetzt werden. Darüber hinaus wissen wir offiziell nichts.

Du kannst mir keinen Bären aufbinden! Da kommen Wörter drin vor wie "Körper", "Integritätsbereich", die fallen nicht vom Himmel...

Was ich überhaupt nicht leiden kann ist, wenn sich Leute absichtlich dummstellen, nur um hier eine breit angelegte, ausführliche Erläuterung zu "erzwingen". Dieses Board ist kein Vorlesungsersatz! unglücklich

17.12.2006, 20:35

Mathieri

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Jaaaa, diese Sachen sind natürlich auch bekannt,... wir sind schlißlich in der Mitte des Semesters. Ich meinte das ja auch REIN auf das Modulo bezogen. Oder kennst du noch andere Möglichkeiten Modulo zu berechnen.

17.12.2006, 20:40

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RE: Schon fast Triviales wie mit Modulo
Na fangen wir doch mit der Darstellung der Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mit den Ziffern $\begin{eqnarray*} a_ma_{m-1}\ldots a_1a_0 \end{eqnarray*}$ an: Im Dezimalsystem ist das

$\begin{eqnarray*} n = \sum_{k=0}^m ~ a_k 10^k \end{eqnarray*}$

Jetzt betrachte das mal modulo 9 (für 1. und 2.), modulo 11 (für 3.) und modulo 10 (für 4.). Dann ist doch schon fast alles gegessen.

17.12.2006, 22:11

Mathieri

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$\begin{eqnarray*} x = \sum_{k=0}^n~x_k 10^k \end{eqnarray*}$

Zur a) $\begin{eqnarray*} (x - \sum_{k=0}^n~x_k) mod 9 = 0 \end{eqnarray*}$
Schade, dass ich hier nicht weiter weiss.

Zur b) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~x_k = 9m => x mod 9 = 0 \end{eqnarray*}$
Hier könnte ich mit Glück noch rechnen. Bei meinem Glück aber wohl eher nicht -.-

Zur c) $\begin{eqnarray*} (\sum_{k=2l}^n~x_k - \sum_{k=2l+1}^n~x_l) mod 11 = 0, mit l \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$
Dass es jetzt bis zur 6. Vorkommastelle bei einer 3-stelligen Zahl läuft liegt daran, dass ich nicht weiss, wie man untere und obere Gaußklammer schreibt. Außerdem wird ja dann eh nur +0 addiert.

Zur d) $\begin{eqnarray*} x_0 mod 2 = 0 \end{eqnarray*}$

Ok, nun habe die die alle mit Modulo geschrieben und bin keinen Schritt weiter. Sorry, ich habe total die Blokade und bin froh das es halbwegs wie LaTeX aussieht. Wie bekomme ich eiegntlich Leerzeichen vor und hinter "mod" das sieht immer so gequetscht aus.

So, jetzt habe ich die Aufgabenstellung aufgearbeitet, aber noch keine Beweise. Welche der 3 Aufgaben kann mir nun am ehesten weiterhelfen ?

17.12.2006, 22:14

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Zu 1. und 2.) $\begin{eqnarray*} 10\equiv 1\mod 9 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 10^k\equiv 1^k = 1\mod 9 \end{eqnarray*}$

Zu 3.) $\begin{eqnarray*} 10\equiv -1\mod 11 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 10^k\equiv (-1)^k\mod 11 \end{eqnarray*}$

Zu 4.) $\begin{eqnarray*} 10^k\equiv 0\mod 10 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 1 \end{eqnarray*}$

Das ist doch wirklich alles, was man braucht. Der Rest ist nur noch scharfes Hinsehen.

17.12.2006, 23:23

Mathieri

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Ok, ich brauche eine schärfere Brille. Aber vielen Dank für deine Hilfe. Mal gucken, ob ich noch den entscheidenden Geistesblitz bekomme.

17.12.2006, 23:56

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Zitat:

Original von Mathieri
Ok, ich brauche eine schärfere Brille.

Die brauchst du wohl wirklich... also mal ausführlich: Sei $\begin{eqnarray*} x = \sum_{k=0}^n~x_k 10^k \end{eqnarray*}$ , dann ist die Quersumme $\begin{eqnarray*} Q(x) = \sum_{k=0}^n~x_k \end{eqnarray*}$ . Mit einfacher Modulrechnung folgt nun

$\begin{eqnarray*} x = \sum_{k=0}^n~x_k 10^k \equiv \sum_{k=0}^n~x_k 1^k = \sum_{k=0}^n~x_k = Q(x) \mod 9 \end{eqnarray*}$

oder umgestellt $\begin{eqnarray*} x-Q(x) \equiv 0 \mod 9 \end{eqnarray*}$ . Das ist bereits 1., und 2. auch gleich, denn damit folgt die Äquivalenz

$\begin{eqnarray*} x\equiv 0\mod 9 \qquad\Longleftrightarrow\qquad Q(x)\equiv 0\mod 9 \end{eqnarray*}$

und das ist nun mal 2.

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