Polynomring modulo erzeugtem Ideal

20.07.2011, 21:40

Roonex

Polynomring modulo erzeugtem Ideal

Hallo,

schreibe bald eine Algebra-Klausur und möchte endlich mal folgende Geschichte verstehen:

Ich hab also bspw. $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t]/(t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ gegeben, und soll untersuchen ob die Menge endlich, ein Ring, ein Körper, ein Integritätsbereich und/oder ein Hauptidealring ist.

Am liebsten in ganz kleinen, verständlichen Schritten und mit Begründungen :-)

Als erstes hab ich mir das erzeugte Ideal angeschaut (d.h. einfach Definition):

$\begin{eqnarray*} (t^{2}+1) = \left\{ (t^{2}+1)\cdot x | x \in \mathbb Q[t] \right\} \end{eqnarray*}$

D.h. in diesem Ideal sind ganz viele verschiedene Elemente zu finden. Sie haben gemeinsam, dass sie aus dem Produkt von zwei Polynomen bestehen, von denen eines $\begin{eqnarray*} (t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ ist.

Naja ok. Jetzt schaut man sich den Polynomring modulo dem Ideal an, also wieder Definition:

$\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t]/(t^{2}+1) = \left\{ f + (t^{2}+1) | f \in \mathbb Q [t] \right\} \end{eqnarray*}$

Kann man das dann eigentlich folgendermaßen schreiben bzw. ist das nützlich?:

$\begin{eqnarray*} \left\{ f + (t^{2}+1) | f \in \mathbb Q [t] \right\} = \left\{ f + (t^{2}+1) \cdot x | f,x \in \mathbb Q[t] \right\} \end{eqnarray*}$

Das stell ich mal dahin. Was man ja macht, ist Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[t] \end{eqnarray*}$ zu betrachten, sie durch $\begin{eqnarray*} t^{2}+1 \end{eqnarray*}$ mit Polynomdivision zu teilen und sich den Rest anschauen. Wenn Rest $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ herauskommt, war das ein Polynom aus dem Ideal und ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t]/(t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ damit gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Dass man bei verschiedenen Resten auch auf verschiedene Klassen kommt, hab ich mir einfach in Analogie zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ (mehr oder weniger) klar gemacht.

Jetzt will ich konkret den Aufbau der Elemente in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t]/(t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ betrachten. Hier bin ich dann unsicher. Ich vermute mal es sind hier (als Repräsentanten) alle Polynome bis zum Grad $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ... jedenfalls war das genauso in einer Aufgabe in der statt $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nämlich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben war. Kann mir jemand noch mal die Begründung dafür geben? Ist es einfach so, dass wenn man ein Polynom von Grad $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ oder höher hat, dieses durch $\begin{eqnarray*} t^{2}+1 \end{eqnarray*}$ 'verkleinert' wird? Und warum genau sehen die Klassen so aus? Bzw. entsprechen die Reste genau Repräsentanten aus allen Äquivalenzklassen?

Würde mich über eine Antwort mit Tipps/Korrektur freuen! smile

Aber bitte nicht einfach nur Links angeben, würde es gern nochmal direkt auf dieses Beispiel und auf meine Probleme damit bezogen haben.

Edit: Bezogen auf die Aufgabenstellung hätte ich jetzt also gesagt dass man es mit einem nicht-endlichen Ring zu tun hat... bei den anderen Sachen bin ich mir noch nicht sicher.

21.07.2011, 01:47

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Polynomring modulo erzeugtem Ideal

Zitat:

Original von Roonex
Kann man das dann eigentlich folgendermaßen schreiben bzw. ist das nützlich?:

$\begin{eqnarray*} \left\{ f + (t^{2}+1) | f \in \mathbb Q [t] \right\} = \left\{ f + (t^{2}+1) \cdot x | f,x \in \mathbb Q[t] \right\} \end{eqnarray*}$

Nein. Links steht eine Menge von Äquivalenzklassen, also Mengen von Polynomen, rechts steht eine Menge von Polynomen.

Zitat:

Das stell ich mal dahin. Was man ja macht, ist Polynome in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[t] \end{eqnarray*}$ zu betrachten, sie durch $\begin{eqnarray*} t^{2}+1 \end{eqnarray*}$ mit Polynomdivision zu teilen und sich den Rest anschauen. Wenn Rest $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ herauskommt, war das ein Polynom aus dem Ideal und ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t]/(t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ damit gleich $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Dass man bei verschiedenen Resten auch auf verschiedene Klassen kommt, hab ich mir einfach in Analogie zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /n\mathbb Z \end{eqnarray*}$ (mehr oder weniger) klar gemacht.

Das ist auch wichtig fürs Verständnis.

Zitat:

Jetzt will ich konkret den Aufbau der Elemente in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t]/(t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ betrachten. Hier bin ich dann unsicher. Ich vermute mal es sind hier (als Repräsentanten) alle Polynome bis zum Grad $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ... jedenfalls war das genauso in einer Aufgabe in der statt $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nämlich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben war. Kann mir jemand noch mal die Begründung dafür geben? Ist es einfach so, dass wenn man ein Polynom von Grad $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ oder höher hat, dieses durch $\begin{eqnarray*} t^{2}+1 \end{eqnarray*}$ 'verkleinert' wird? Und warum genau sehen die Klassen so aus? Bzw. entsprechen die Reste genau Repräsentanten aus allen Äquivalenzklassen?

Man kann doch ein beliebig gegebenes Polynom $\begin{eqnarray*} f\in \mathbb{Q}[t] \end{eqnarray*}$ mit Rest durch $\begin{eqnarray*} t^2+1 \end{eqnarray*}$ teilen:
$\begin{eqnarray*} f=q(t^2+1)+r \end{eqnarray*}$
wobei der Grad von r kleiner als der Grad von $\begin{eqnarray*} t^2+1 \end{eqnarray*}$ ,also gleich 1 oder 0 ist. (oder r=0)
Damit:
$\begin{eqnarray*} f\equiv r\quad (\operatorname{mod}\ t^2+1) \end{eqnarray*}$
Jedes Polynom ist also zu einem Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ kongruent modulo $\begin{eqnarray*} t^2+1. \end{eqnarray*}$
Ist $\begin{eqnarray*} f\equiv r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f\equiv s \end{eqnarray*}$ ,wobei r und s beide Grad $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ haben, dann gilt $\begin{eqnarray*} r-s\equiv 0 \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} (t^2+1)\mid (r-s). \end{eqnarray*}$ Nun hat aber r-s auch Grad $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ und daher muss schon r-s=0 sein.
Jedes Polynom ist also sogar genau zu einem Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ kongruent. Insbesondere liegen zwei verschiedene Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ in verschiedenen Äquivalenzklassen.
Die Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ entsprechen also umkehrbar eindeutig den Äquivalenzklassen modulo $\begin{eqnarray*} t^2+1. \end{eqnarray*}$ Das heißt: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[t]/(t^2+1)=\{r+(t^2+1)\, |\, r\in\mathbb{Q}[t],\, \operatorname{deg}(r)\leq 1\} \end{eqnarray*}$

Um die Frage zu beantworten, ob $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[t]/(t^2+1) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, überlege dir (oder erinnere dich), dass ein kommutativer Ring mit 1 genau dann ein Körper ist, wenn er genau 2 Ideale besitzt: Das Nullideal und das Einheitsideal. Nun ist $\begin{eqnarray*} t^2+1\in \mathbb{Q}[t] \end{eqnarray*}$ irreduzibel, woraus folgt, dass es keine Ideale in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[t] \end{eqnarray*}$ gibt, die nicht das Einheitsideal sind und das Ideal $\begin{eqnarray*} (t^2+1) \end{eqnarray*}$ echt enthalten (warum?). Überlege dir mit Hilfe des Restklassenhomomorphismus $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[t]\to\mathbb{Q}[t]/(t^2+1) \end{eqnarray*}$ , welche Ideale es in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[t]/(t^2+1) \end{eqnarray*}$ geben kann.
Das sollte dann auch die Fragen nach 'Integritätsring' und 'Hauptidealring' beantworten. Augenzwinkern

Über die Frage, ob $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[t]/(t^2+1) \end{eqnarray*}$ ein Ring ist, bin ich verwirrt. Wie (wenn nicht als Restklassenring) sollte das denn sonst gemeint sein?

21.07.2011, 07:53

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldigt bitte diese kurze Einmischung in einen laufenden Thread, ich möchte nur einen kurzen Vorschlag unterbreiten.
Möglicherweise würde es Roonex helfen, Ideale (zumindest vorläufig) als $\begin{eqnarray*} \langle t^2+1\rangle \end{eqnarray*}$ zu schreiben. Dies sollte eine Verwechslung wie $\begin{eqnarray*} \{f+\langle t^2+1\rangle ~|~ f\in\mathbb{Q}[t]\} \stackrel{??}{=} \{f+(t^2+1)x ~|~ f,x \in \mathbb{Q}[t]\} \end{eqnarray*}$ vermeiden.

21.07.2011, 14:18

Roonex

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal danke für die ausführliche Antwort Freude

Zitat:

Nein. Links steht eine Menge von Äquivalenzklassen, also Mengen von Polynomen, rechts steht eine Menge von Polynomen.

Ja, das war etwas doof von mir, da hätte ich selbst drauf kommen müssen.

Zitat:

Nun ist $\begin{eqnarray*} t^{2}+1 \in \mathbb Q [t] \end{eqnarray*}$ irreduzibel,

weil es keine Nullstellen hat wenn man für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ Werte aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ einsetzt?

Zitat:

woraus folgt, dass es keine Ideale in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t] \end{eqnarray*}$ gibt, die nicht das Einheitsideal sind und das Ideal $\begin{eqnarray*} (t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ echt enthalten (warum?).

Mh, verstehe ich noch nicht. Irreduzibel heißt ja, dass wenn man $\begin{eqnarray*} t^{2}+1 \end{eqnarray*}$ als Produkt von zwei Elementen darstellt, dass mind. eines der Elemente eine Einheit ist. Einheiten in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t] \end{eqnarray*}$ sind ja genau die Einheiten in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , und diese müssten alle $\begin{eqnarray*} q \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ausser der $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein, da man sonst einfach mit dem Kehrbruch multipliziert und damit auf 1 kommt. Sind dann also quasi alle Polynome mit Grad $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ .

Aber ich sehe noch nicht direkt wie man daraus die Aussage herleiten kann.

Hab da grad bisschen Vorstellungsschwierigkeiten... man hat schon einen Ring, der aus Äquivalenzklassen besteht, ... und dann nochmal Ideale von dem unglücklich

Da brauch ich noch ein wenig Unterstützung.

Zitat:

Über die Frage, ob $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t]/(t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ ein Ring ist, bin ich verwirrt. Wie (wenn nicht als Restklassenring) sollte das denn sonst gemeint sein?

Ok, das liegt daran, dass wir eine leere Tabelle bekommen haben, in der links potentielle Ringe/Körper usw. stehen und wir ankreuzen sollen ob diese nun Ringe/Körper/Hauptidealringe usw. sind. Hab eben nur ein Beispiel da herausgegriffen smile

Hoffe dass ich noch etwas Hilfe bekomme!

21.07.2011, 14:45

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Nun ist $\begin{eqnarray*} t^{2}+1 \in \mathbb Q [t] \end{eqnarray*}$ irreduzibel,

weil es keine Nullstellen hat wenn man für $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ Werte aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ einsetzt?

Ja, wenn das Polynom reduzibel wäre, hätte es auch einen Teiler vom Grad 1, also eine Nullstelle. Aber $\begin{eqnarray*} t^2+1\geq 1>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{Q}. \end{eqnarray*}$
Alternativer Beweis: $\begin{eqnarray*} (t+1)^2+1=t^2+2t+2 \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel nach Eisensteinkriterium, also auch $\begin{eqnarray*} t^2+1. \end{eqnarray*}$

Zitat:

Benutze, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[t] \end{eqnarray*}$ ein Hauptidealring ist. Wenn $\begin{eqnarray*} (p)\supset (t^2+1) \end{eqnarray*}$ für ein Polynom $\begin{eqnarray*} p\in \mathbb{Q}[t] \end{eqnarray*}$ ,was bedeutet das für die Elemente p und $\begin{eqnarray*} t^2+1 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Hab da grad bisschen Vorstellungsschwierigkeiten... man hat schon einen Ring, der aus Äquivalenzklassen besteht, ... und dann nochmal Ideale von dem unglücklich

Daran solltest du dich aber gewöhnen, solche 'geschachtelten' Konstruktionen sind in der Algebra gang und gäbe. Wie die Elemente genau (als Mengen) aussehen, ist nicht so wichtig, es geht um die algebraischen Eigenschaften.

Hast du dir schon über dieses Gedanken gemacht?

Zitat:

Um die Frage zu beantworten, ob $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[t]/(t^2+1) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, überlege dir (oder erinnere dich), dass ein kommutativer Ring mit 1 genau dann ein Körper ist, wenn er genau 2 Ideale besitzt: Das Nullideal und das Einheitsideal.

21.07.2011, 15:25

Roonex

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn $\begin{eqnarray*} (p) \end{eqnarray*}$ die Menge erzeugt, die auch $\begin{eqnarray*} (t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ erzeugt, und noch mehr, dann würde ich sagen dass $\begin{eqnarray*} p|t^{2}+1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} t^{2}+1 \end{eqnarray*}$ .
Damit ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ aber entweder eine Einheit (-> und würde damit ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t] \end{eqnarray*}$ erzeugen?) oder aber... was anderes, hm...

Also so ganz kriege ich das noch nicht hin.

Zitat:

Um die Frage zu beantworten, ob $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t]/(t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, überlege dir (oder erinnere dich), dass ein kommutativer Ring mit 1 genau dann ein Körper ist, wenn er genau 2 Ideale besitzt: Das Nullideal und das Einheitsideal.

Ja, ich habe zumindest versucht, mir darüber Gedanken zu machen :-)

Aber sehe leider immer noch nicht wie ich das zeigen kann, dass es keine anderen Ideale gibt.

21.07.2011, 16:30

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Roonex
Wenn $\begin{eqnarray*} (p) \end{eqnarray*}$ die Menge erzeugt, die auch $\begin{eqnarray*} (t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ erzeugt, und noch mehr, dann würde ich sagen dass $\begin{eqnarray*} p|t^{2}+1 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} t^{2}+1 \end{eqnarray*}$ .
Damit ist $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ aber entweder eine Einheit (-> und würde damit ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t] \end{eqnarray*}$ erzeugen?) oder aber... was anderes, hm...

Es gilt doch dann $\begin{eqnarray*} t^2+1=pq \end{eqnarray*}$ für ein Polynom q. Da $\begin{eqnarray*} t^2+1 \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, muss p oder q eine Einheit sein. Ist p keine Einheit, dann ist also $\begin{eqnarray*} p=q^{-1}(t^2+1). \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aber sehe leider immer noch nicht wie ich das zeigen kann, dass es keine anderen Ideale gibt.

Benutze, dass für ein Element a eines Ringes R (mit 1) genau dann das von a erzeugte Hauptideal gleich R ist, wenn a eine Einheit ist.

21.07.2011, 22:06

Roonex

Auf diesen Beitrag antworten »

War eine Weile weg, bin jetzt aber wieder da smile

Und es hat sich Verwirrung breit gemacht verwirrt

Um die Körpereigenschaft zu zeigen, muss man ja Ideale von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t]/(t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ betrachten...warum genau schauen wir uns dieses $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ an, was ja selbst als $\begin{eqnarray*} (p) \end{eqnarray*}$ ein Ideal von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t] \end{eqnarray*}$ ist und nicht von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t]/(t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ ?

Im ersten Post steht was von Restklassenhomomorphismus, kannst du (oder jemand anders) das nochmal an diesem Beispiel erklären?

22.07.2011, 03:37

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Roonex
Um die Körpereigenschaft zu zeigen, muss man ja Ideale von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t]/(t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ betrachten...warum genau schauen wir uns dieses $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ an, was ja selbst als $\begin{eqnarray*} (p) \end{eqnarray*}$ ein Ideal von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t] \end{eqnarray*}$ ist und nicht von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q [t]/(t^{2}+1) \end{eqnarray*}$ ?

Weil wir doch erstmal zeigen wollen (siehe meinen ersten Post):

Zitat:

Nun ist $\begin{eqnarray*} t^2+1\in \mathbb{Q}[t] \end{eqnarray*}$ irreduzibel, woraus folgt, dass es keine Ideale in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}[t] \end{eqnarray*}$ gibt, die nicht das Einheitsideal sind und das Ideal $\begin{eqnarray*} (t^2+1) \end{eqnarray*}$ echt enthalten (warum?).

Zitat:

Im ersten Post steht was von Restklassenhomomorphismus, kannst du (oder jemand anders) das nochmal an diesem Beispiel erklären?

Es ist der Homomorphismus, der ein Element auf seine Restklasse abbildet. Wenn dir der unbekannt ist, siehe dazu in einem beliebigen Buch oder Skript zur (Einführung in die) Algebra unter dem Stichwort "Homomorphiesatz" nach. Wenn du dann noch Fragen hast, kannst du sie hier stellen.

25.07.2011, 17:50

Roonex

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid dass ich hier nicht mehr geantwortet habe.

Ich denke irgendwann werd ich das Zeug noch verstehen. Die Klausur hab ich jedenfalls bestanden :-)

Aber Danke für die Unterstützung, ein paar Sachen sind mir trotzdem klarer geworden.

Wink

Neue Frage »

Antworten »

Polynomring modulo erzeugtem Ideal

Verwandte Themen