Richtungsableitungen

20.07.2011, 22:04

Melanie123

Richtungsableitungen

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe folgende Funktion gegeben:

f(x,y) = $\begin{eqnarray*} e^{x^{2}-1 } * (-2 + x^{2} + y^{2}) \end{eqnarray*}$

Nun soll ich die Richtungsableitung von f in Richtung des Vektors v = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bestimmen. Könnt ihr mir da helfen?

leibe Grüße

Meine Ideen:
Gibt es da quasi sowas wie ein Kochrezept für solche Typen von Aufgaben?

20.07.2011, 22:12

Scien

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Was sagt dir denn der Gradient einer Funktion? Versuch es mal damit.

20.07.2011, 22:20

Melanie123

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wenn ich das mit dem Gradient richtig verstanden hab, ist das ja nur die partielle Ableitung. Da hab ich hier 12e³ und 0 raus...wie hilft mir das weiter?

20.07.2011, 22:40

Scien

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Jein, der Gradient ist die partielle Ableitung in jede richtung (hier in x und y Richtung)
Zudem macht er aus einer funktion einen vektor und aus einem vektor eine funktion.
Hier solltest du also einen vektor bekommen, weshalb deine Lösung schon mal nicht sein kann.

$\begin{eqnarray*} grad(f)= \begin{pmatrix} \frac{df}{dx} \\ \frac{df}{dy} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

rechne bitte noch mal smile

das ergebnis muss auch immer noch von x und y abhängen.

20.07.2011, 22:47

Melanie123

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ah ok...ich hab schon einen Punkt eingesetzt ( war in einem anderen Aufgabenteil gefordert). $\begin{eqnarray*} e^{x²-1} * 2 * x *(x² + y² - 1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e^{x²-1} * 2 * y \end{eqnarray*}$ müsste stimmen..und nun?

20.07.2011, 23:05

Scien

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achso

Jetzt kennst du die Ableitung in x und in y Richtung. Du willst aber von beiden etwas haben. Und du kennst die "aufteilung" der Änderung in x und in y Richtung durch deinen Vektor. Also alles was nun noch fehlt ist grad(f)*v

Und das ist dann schon deine richtungsableitung smile

gut nacht

20.07.2011, 23:18

Melanie123

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ah ok cool, also ist die Richtungsableitung immer grad(f)*v ? Was wäre denn wenn ich anstatt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hätte?

21.07.2011, 08:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Melanie123
ah ok cool, also ist die Richtungsableitung immer grad(f)*v ?

Ja, sofern der Vektor v die Länge 1 hat, also ein Einheitsvektor ist.

Zitat:

Original von Melanie123
Was wäre denn wenn ich anstatt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hätte?

Dann mußt du grad(f)*v noch durch die Länge des Vektors dividieren. smile

21.07.2011, 10:16

Melanie123

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also ich hab jetzt ein Beispiel wo die Richtung (3 über -4) * 1/5 beträgt. Kann ich jetzt einfach den Grad mal (3 über -4) nehmen?

21.07.2011, 10:29

klarsoweit

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Jein. Wenn schon, dann mit $\begin{eqnarray*} \frac 1 5 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Denn nur dieser Vektor hat die Länge 1. Augenzwinkern

21.07.2011, 10:33

Melanie123

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also für die Gradienten hab ich :
$\begin{eqnarray*} e^{1-2xy} * (1- 2xy - 2y²) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} e^{1-2xy} * (1- 2xy - 2x²) \end{eqnarray*}$
ich weis jetzt gerade aber irgendwie nicht wie ich weitermachen soll. Ich komm einfach nicht auf das richtige Ergebnis...

21.07.2011, 10:53

klarsoweit

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Da mußt du schon sagen, was du rechnest, vor allem, um welche Funktion es geht. Die skalare Multiplikation zweier Vektoren kann ja wohl nicht das große Problem sein.

21.07.2011, 11:05

Melanie123

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ich habe das Problem gelöst, trotzdem danke für die Hilfe Augenzwinkern

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